Wahlteil - GTR

Aufgabe 3B

Das Rechteck $O A E K$ stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten: $O (0 | 0 | 0), A (27 | 0 | 0), B (27 | 18 | 0), C (27 | 39 | 0), E (27 | 78 | 0), F (27 | 39 | 3,5)$ , $H (0 | 39 | 3,5)$ und $M (13,5 | 39 | 3)$ .

Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß (ft). Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken $C F$ und $G H$ dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von $3,5 ft$ und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte $M$ nur noch eine Höhe von $3 ft$ hat. Der Boden wird durch die $x y$ -Ebene dargestellt. Der Ball wird als punktförmig angenommen.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $D$ an.
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Koordinaten des Punktes $D$
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ also $27$ .
Die y-Koordinate vom Punkt $B$ ist $18$ und die vom Punkt $C$ ist $39$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ .
Um die y-Koordinate des Punktes $D$ zu erhalten, muss zur y-Koordinate $39$ vom Punkt $C$ $21$ addiert werden $\Rightarrow 39 + 21 = 60$ .
Die z-Koordinate von $D$ ist $0 \Rightarrow D (27 | 60 | 0)$
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes
Die Länge der Diagonale ist:
$| \vec{O E} | = \sqrt{27^{2} + 78^{2} + 0^{2}} = \sqrt{6813} \approx 82,5$
Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes beträgt rund $82,5 ft$ .
Teil 1
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ . Addiere $21$ zur y-Koordinate von $C$ . $D$ liegt in der xy-Ebene.
Teil 2
Berechne den Betrag des Vektors $\vec{O E}$ .
Es kann vorausgesetzt werden, dass beim Aufschlag der Ball das Netz überquert und dass die $x$ -Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als $13,5$ ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.
Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt $P (13 | 0 | 10,4)$ getroffen, fliegt in Richtung
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$ und trifft im Punkt $Q$ auf dem Boden auf.
Zeigen Sie, dass $Q$ im Spielfeld liegt. (4 BE)
[zur Kontrolle: $Q (26 | 58,5 | 0)$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt
Der Punkt $Q (x | y | 0)$ liegt auf der Flugbahn $\vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{v}$ .
$(\begin{array}{c} x \\ y \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ 10,4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt, dass $r = 1$ ist.
Berechne mit $r = 1$ die fehlenden Koordinaten von $Q$ :
$Q (13 + 13 | 58,5 | 10,4 - 10,4) \Rightarrow Q (26 | 58,5 | 0)$
$Q$ liegt im Spielfeld, da die x-Koordinate von $Q$ kleiner als $27$ (Spielfeldbreite) und die y-Koordinate von $Q$ kleiner als $78$ (Spielfeldlänge) ist.
Der Punkt $Q (x | y | 0)$ liegt auf der Flugbahn.
Erstelle die Geradengleichung für die Flugbahn des Balles und setze sie gleich $Q$ . Löse das Gleichungssystem.
Betrachte die x- und y-Koordinaten von $Q$ und vergleiche sie mit der Spielfeldbreite und Spielfeldlänge.
Die Geschwindigkeit des Balles wird mit $90$ Fuß pro Sekunde als konstant angenommen.
Bestimmen Sie, wie viel Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden vergeht. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles
Die Strecke in $ft$ , die der Ball zurücklegt, ist $| \vec{P Q} |$ .
$\vec{P Q} = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ 10,4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$
$| \vec{P Q} | = \sqrt{13^{2} + {58,5}^{2} + (- 10,4)^{2}} = \sqrt{3699,41} \approx 60,8 ft$
Der zurückgelegte Weg beträgt rund $60,8 ft$ .
Für die benötigte Zeit gilt:
$t = \frac{s}{v} = \frac{60,8 ft}{90 \frac{ft}{s}} \approx 0,68 s$
Die Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden beträgt rund $0,68 s$ .
Berechne die Länge der Strecke $| \vec{P Q} |$ .
Berechne die Zeit im Flug mit dem Weg-Zeit-Gesetz: $t = \frac{s}{v}$
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Größe des Winkels, unter dem der Ball auftrifft
Die xy-Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Die Gerade hat den Richtungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$ , dabei ist $| \vec{v} | = \sqrt{3699,41}$ siehe Aufgabe c).
Dann gilt für den Winkel: $\sin α = \frac{| \vec{v} \circ \vec{n} |}{| \vec{v} | \cdot | \vec{n} |}$
$\sin α$ $=$ $\frac{| (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
↓
Berechne das Skalarprodukt.
$=$ $\frac{| 0 + 0 - 10,4 |}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{10,4}{\sqrt{3699,41}}$
$α = \sin^{- 1} (\frac{10,4}{\sqrt{3699,41}}) \approx {9,8}^{\circ}$
Die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft, beträgt rund ${9,8}^{\circ}$ .
Es gilt: $\sin α = \frac{| \vec{v} \circ \vec{n} |}{| \vec{v} | \cdot | \vec{n} |}$ , mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$ und $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der $x y$ -Ebene, ergibt sich die Gerade $b$ . Die Gerade $b$ beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $b$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gleichung der Geraden $b$
Der Punkt $P (13 | 0 | 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden.
$\Rightarrow P^{'} (13 | 0 | - 10,4)$
Die Gerade $b$ geht durch die Punkte $P^{'} (13 | 0 | - 10,4)$ und $Q (26 | 58,5 | 0)$ .
$b : \vec{x} = \vec{O Q} + r \cdot \vec{P^{'} Q}$
$\Rightarrow b : \vec{x} = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ - 10,4 \end{array})) = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ 10,4 \end{array})$
mit $r \in ℝ$ .
Die Gleichung der Geraden $b$ lautet: $\vec{x} = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ 10,4 \end{array})$
Der Punkt $P (13 | 0 | 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden $\Rightarrow P^{'}$
Bestimme die Gerade $b$ durch die Punkte $P^{'}$ und $Q$ .
Bei einem anderen Aufschlag wird der Ball im Punkt $P_{h} (13 | 0 | h), h > 0$ , abgeschlagen und trifft im Punkt $Q (26 | 58,5 | 0)$ auf dem Boden auf. Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0,25 ft$ über dem Netz.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $h$ . (8 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Wert von $h$
Die Gleichung für die Flugbahn des Balles lautet:
$k : \vec{x} = \vec{O P_{h}} + r \cdot \vec{P_{h} Q}$
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array})) = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - h \end{array})$ mit $r \in ℝ$
Der Ball überquert das Netz in einem Punkt $U (x | 39 | z_{1})$ .
Der Punkt $U$ muss auf der Flugbahn $k$ liegen:
$(\begin{array}{c} x \\ 39 \\ z_{1} \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - h \end{array}) \Rightarrow r = \frac{39}{58,5} = \frac{2}{3}$
Mit $r = \frac{2}{3}$ folgt für den Punkt $U$ :
${\vec{x}}_{U} = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - h \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{65}{3} \\ 39 \\ \frac{1}{3} h \end{array}) \Rightarrow U (\frac{65}{3} | 39 | \frac{1}{3} h)$
Der Punkt $U$ liegt oberhalb der Netzkante $F M$ . Deshalb wird die Netzoberkante durch folgende Gleichung beschrieben:
$l : \vec{x} = \vec{O F} + s \cdot \vec{F M}$
$l : \vec{x} = (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array}) + s \cdot ((\begin{array}{c} 13,5 \\ 39 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array})) = (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 13,5 \\ 0 \\ - 0,5 \end{array})$
Der Punkt der Netzoberkante, der überquert wird, ist $V (\frac{65}{3} | 39 | z_{2})$ .
Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante $l$ liegen:
$(\begin{array}{c} \frac{65}{3} \\ 39 \\ z_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 13,5 \\ 0 \\ - 0,5 \end{array})$
Gleichung $(I)$ lautet: $\frac{65}{3} = 27 - 13,5 \cdot s$
Auflösung nach $s$ :
$\frac{65}{3}$ $=$ $27 - 13,5 \cdot s$
↓
Klammere 13,5 aus.
$\frac{65}{3}$ $=$ $13,5 \cdot (2 - s)$
$\frac{65}{3}$ $=$ $\frac{27}{2} \cdot (2 - s)$ $\cdot \frac{2}{27}$
$\frac{65}{3} \cdot \frac{2}{27}$ $=$ $2 - s$
$\frac{130}{81}$ $=$ $2 - s$ $+ s - \frac{130}{81}$
$s$ $=$ $2 - \frac{130}{81}$
$s$ $=$ $\frac{32}{81}$
Mit $s = \frac{32}{81}$ folgt dann in Gleichung $(I I I)$ :
$z_{2} = 3,5 + \frac{32}{81} \cdot (- \frac{1}{2}) = 3,5 - \frac{16}{81} = \frac{535}{162}$
Damit hat der Punkt $V$ die Koordinaten $V (\frac{65}{3} | 39 | \frac{535}{162})$ .
Andererseits ist $U (\frac{65}{3} | 39 | \frac{1}{3} h)$ :
Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0,25 ft$ über dem Netz.
Die Differenz der z-Werte von $U$ und $V$ muss gleich $0,25$ sein.
$\frac{1}{3} h - \frac{535}{162} = 0,25 \Rightarrow h = 3 \cdot (0,25 + \frac{535}{162}) = 3 \cdot \frac{1151}{324} = \frac{1151}{108} \approx 10,66$
Der zugehörige Wert von $h$ ist etwa $10,66 ft$ .
Erstelle die Gleichung der Flugbahn des Balles mit dem unbekannten Wert
Der Ball überquert das Netz in einem Punkt $U$ mit unbekannten x- und z-Koordinaten.
Der Punkt $U$ muss auf der Flugbahn des Balles liegen. Bestimme seine Koordinaten.
Erstelle eine Gleichung für die Netzoberkante. Beachte dabei, auf welcher Seite der Ball das Netz überquert.
Ein weiterer Punkt $V$ hat die gleichen x- und y-Koordinaten wie $U$ , aber eine andere z-Koordinate.
Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante liegen. Bestimme seine Koordinaten.
Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0,25 ft$ über dem Netz, d.h. die Differenz der z-Werte von $U$ und $V$ muss gleich $0,25$ sein.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$\sin α$	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \|}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\frac{\| 0 + 0 - 10,4 \|}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{10,4}{\sqrt{3699,41}}$

$\frac{65}{3}$	$=$	$27 - 13,5 \cdot s$
	↓	Klammere 13,5 aus.
$\frac{65}{3}$	$=$	$13,5 \cdot (2 - s)$
$\frac{65}{3}$	$=$	$\frac{27}{2} \cdot (2 - s)$	$\cdot \frac{2}{27}$
$\frac{65}{3} \cdot \frac{2}{27}$	$=$	$2 - s$
$\frac{130}{81}$	$=$	$2 - s$	$+ s - \frac{130}{81}$
$s$	$=$	$2 - \frac{130}{81}$
$s$	$=$	$\frac{32}{81}$

Wahlteil - GTR

Aufgabe 3B

Koordinaten des Punktes D

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes

Nachweis, dass Q im Spielfeld liegt

Zeit vom Abschlag im Punkt P bis zum Auftreffen des Balles

Größe des Winkels, unter dem der Ball auftrifft

Gleichung der Geraden b

Wert von h

Koordinaten des Punktes $D$

Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt

Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles

Gleichung der Geraden $b$

Wert von $h$