Pflichtteil

Aufgabe P6

In einem Behälter befinden sich Kugeln, von denen jede dritte gelb ist.

Aus dem Behälter wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln gelb sind. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Lösungsvorschlag
Wahrscheinlichkeit für gelb
Jede dritte Kugel ist gelb: $p = \frac{Anzahl gelbe Kugeln}{Anzahl gesamte Kugeln} = \frac{1}{3}$
Wahrscheinlichkeit für "2 mal gelb"
Beim 2-maligen Ziehen verwendest du die Pfadregeln: $P (" 2 mal gelb ") = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, eine gelbe Kugel zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Zwei mal gelb"
Beachte, dass zwischen den Ziehungen zurückgelegt wird.
Im Behälter werden zwei gelbe Kugeln durch zwei blaue Kugeln ersetzt. Anschließend wird aus dem Behälter erneut zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln gelb sind, beträgt nun $\frac{1}{16}$ .
Ermitteln Sie, wie viele gelbe Kugeln sich nach dem beschriebenen Vorgang im
Behälter befinden. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Lösungsvorschlag
Die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{16} = \underset{2 mal gelb}{\underset{⏟}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}}$ lässt darauf schließen, dass nun jede 4. Kugel gelb sein muss.
Vorüberlegung
$n$ ist die gesuchte Anzahl gelber Kugeln nach dem Tausch
$N$ ist die Gesamtzahl der Kugeln.
Anteil vor dem Austausch
Vor dem Tausch gab es zwei gelbe Kugeln mehr:
$\frac{n + 2}{N} = \frac{1}{3}$

Nach dem Austausch
$\frac{n}{N} = \frac{1}{4}$
Diese Gleichung ergibt umgeformt: $N = 4 \cdot n$
Anzahl der gelben Kugeln
Bestimme die Anzahl $n$ mithilfe der ersten Gleichung.
$\frac{n + 2}{N}$ $=$ $\frac{1}{3}$
↓
Einsetzen $N = 4 \cdot n$
$\frac{n + 2}{4 \cdot n}$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot 4 n$
$n + 2$ $=$ $\frac{4}{3} n$ $- n$
$2$ $=$ $\frac{1}{3} n$ $\cdot 3$
$6$ $=$ $n$
Nach dem Tausch sind es $n = 6$ gelbe Kugeln.
Stelle eine Gleichung auf mit der Wahrscheinlichkeit $P ($ "2 mal gelb" $)$ $= \frac{1}{16}$
Es hilft dabei, die gesuchte Anzahl $x$ zu nennen.
Bestimme den Anteil der gelben Kugel nach dem Austausch
Vor dem Austausch und nach dem Austausch lassen sich die Anteile der gelben Kugeln mit Gleichungen ausdrücken.
Stelle diese Gleichungen auf
Bestimme die Anzahl der gelben Kugeln nach dem Austausch

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{n + 2}{N}$	$=$	$\frac{1}{3}$
	↓	Einsetzen $N = 4 \cdot n$
$\frac{n + 2}{4 \cdot n}$	$=$	$\frac{1}{3}$	$\cdot 4 n$
$n + 2$	$=$	$\frac{4}{3} n$	$- n$
$2$	$=$	$\frac{1}{3} n$	$\cdot 3$
$6$	$=$	$n$

Pflichtteil

Aufgabe P6

Lösungsvorschlag

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