Pflichtteil

Aufgabe P5

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p$ .

Der Erwartungswert von $X$ ist 50.

Berechnen Sie die Standardabweichung von $X$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Lösungsvorschlag
Wahrscheinlichkeit $p$
Eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ hat den Erwartungswert:
$μ$ $=$ $n \cdot p$
↓
Einsetzen der Informationen
$50$ $=$ $100 \cdot p$ $: 100$
$p$ $=$ $0,5$
Standardabweichung
Die Standardabweichung $σ$ einer lässt sich berechnen mit:
$σ$ $=$ $\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
↓
Einsetzen
$=$ $\sqrt{100 \cdot 0,5 \cdot 0,5}$
$=$ $5$
Die Standardabweichung beträgt $5$ .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $p$ des Zufallsexperiments über den gegebenen Erwartungswert.
Berechne die Standardabweichung.
Die Wahrscheinlichkeit $P (X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ .
Bestimmen Sie damit einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$ .
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Lösungsvorschlag
Darstellung einer Binomialverteilung mit $n = 100$ und Erwartungswert $50$ .
Eine Binomialverteilung mit $n = 100$ und $μ = 50$ ist wegen $p = 0,5$ symmetrisch um den Erwartungswert.
Wenn
$P (X \geq 61) \approx 0,02$
beträgt, dann gilt auch für die Wahrscheinlichkeit
$P (X \leq 39) \approx 0,02.$
Die Wahrscheinlichkeit muss insgesamt $1$ betragen. Damit ist:
$P (40 \leq X \leq 60) \approx 1 - 0,02 - 0,02 = 0,96$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens 40 und höchstens 60 ist, ist etwa $96 %$ .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P (X \geq 39)$ .
Verwende hierzu, dass die Verteilung näherungsweise symmetrisch ist.
Berechne $P (40 \leq X \leq 60)$ .

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$μ$	$=$	$n \cdot p$
	↓	Einsetzen der Informationen
$50$	$=$	$100 \cdot p$	$: 100$
$p$	$=$	$0,5$

$σ$	$=$	$\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\sqrt{100 \cdot 0,5 \cdot 0,5}$
	$=$	$5$

Pflichtteil

Aufgabe P5

Lösungsvorschlag

Lösungsvorschlag