Pflichtteil

Aufgabe P2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \sin (x)$ . Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Tangenten an den Graphen in den dargestellten Schnittpunkten mit der $x$ -Achse.

Zeigen Sie, dass diejenige der beiden Tangenten, die durch den Koordinatenursprung verläuft, die Steigung 1 hat. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente und Normale
Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung der Funktion.
Diese ist gegeben durch $f^{'} (0) :$
$f (x)$ $=$ $\sin (x)$
↓
Ableitung von Sinus
$f^{'} (x)$ $=$ $\cos (x)$
$f^{'} (0)$ $=$ $\cos (0)$
$=$ $1$
Die Tangente, die die Funktion an der Stelle $x = 0$ berührt, hat die Steigung $1$ .
Bestimme die Ableitung der Funktion.
Berechne den Wert der Steigung an der Stelle $x = 0$ .

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das vom Graphen von $f$ und den beiden Tangenten eingeschlossen wird. (4 BE)

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$A$	$=$	$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x - \sin (x) d x$
	↓	Stammfunktion bestimmen
	$=$	${[\frac{1}{2} x^{2} + \cos (x)]}_{0}^{\frac{π}{2}}$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \cos (0))$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\frac{π^{2}}{8} + 0 - 1$
	↓	Gesamtfläche ist das Doppelte.
$A_{ges}$	$=$	$\underset{Fläche doppelt nehmen (Symmetrie)}{\underset{⏟}{2}} \cdot A$
	$=$	$2 \cdot (\frac{π^{2}}{8} - 1)$
	$=$	$\frac{π^{2}}{4} - 2$

Pflichtteil

Aufgabe P2

Grenzen der Integration

Wert des Integrals

$f (x)$	$=$	$\sin (x)$
	↓	Ableitung von Sinus
$f^{'} (x)$	$=$	$\cos (x)$
$f^{'} (0)$	$=$	$\cos (0)$
	$=$	$1$