Wahlteil - CAS

Aufgabe 3B

Die Abbildung 1 zeigt das Viereck $A B C D$ mit $A (0 | 3 | 0), B (0 | 9 | 0), C (2 | 8 | 4)$ und $D (2 | 4 | 4)$ . Gegeben sind außerdem die Punkte $S_{t} (0 | 6 | t)$ mit $t \geq 0$ .

Weisen Sie nach,
- dass in dem Viereck $A B C D$ zwei Seiten parallel zueinander sind.
- dass in dem Viereck $A B C D$ zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
- dass das Viereck $A B C D$ kein Rechteck ist.
(6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck
Lösung
In dem Viereck ABCD sind zwei Seiten parallel zueinander
Gegeben sind $A (0 | 3 | 0)$ , $B (0 | 9 | 0)$ , $C (2 | 8 | 4)$ und $D (2 | 4 | 4)$ .
Bei den Punkten $A$ und $B$ und ebenso bei den Punkten $C$ und $D$ stimmen die
$x_{1}$ -Koordinaten und die $x_{3}$ -Koordinaten überein. Somit ist $A B ∥ C D$ .
In dem Viereck ABCD sind zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang
Berechne die Vektoren $\vec{A D}$ und $\vec{B C}$ .
$\vec{A D} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})$
$\vec{B C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$
Da bei beiden Vektoren die Koordinaten jeweils den gleichen Betrag haben, sind die Beträge der Vektoren gleich groß.
$| \vec{A D} | = | \vec{B C} |$
Das Viereck ABCD ist kein Rechteck
Berechne das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A D}$ . Prüfe damit, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
$\vec{A D} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})$
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A D} \circ \vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 6 + 4 \cdot 0 = 6 \neq 0$
Die beiden Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander, d.h. das Viereck $A B C D$ ist kein Rechteck.
In dem Viereck $A B C D$ sind zwei Seiten parallel zueinander.
Betrachte bei den Punkten $A$ und $B$ und ebenso bei den Punkten $C$ und $D$ übereinstimmende Koordinaten.
In dem Viereck $A B C D$ sind zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang.
Berechne die Vektoren $\vec{A D}$ und $\vec{B C}$ .
Das Viereck $A B C D$ ist kein Rechteck.
Prüfe mit dem Skalarprodukt, ob die beiden Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A D}$ senkrecht aufeinander stehen.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $E$ , in der das Viereck $A B C D$ liegt, in Koordinatenform. (3 BE)
[Zur Kontrolle: $2 x - z = 0$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameterform in Koordinatenform
Ebene in Parameterform
$E : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A D} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})$
Umwandlung in Normalenform
Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E$ :
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 24 \\ 0 \\ - 12 \end{array}) = 12 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
$E : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = 0$
Berechne das Skalarprodukt:
$E : 2 \cdot x + 0 \cdot y + (- 1) \cdot z - (0 + 0 + 0) = 0 \Rightarrow 2 \cdot x - z = 0$
Das Viereck liegt in der Ebene $2 \cdot x - z = 0$ .
Erstelle eine Ebenengleichung in Parameterform und wandle sie in die Koordinatenform um.
Berechnen Sie den Winkel zwischen der $x y$ -Ebene und der Ebene $E$ , in der das Viereck $A B C D$ liegt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Winkel zwischen der xy-Ebene und der Ebene E
Der Normalenvektor der xy-Ebene ist ${\vec{n}}_{x y} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ und der Normalenvektor der Ebene $E$ ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ .
Dann folgt für den Winkel zwischen zwei Ebenen:
$\cos α = \frac{| {\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{x y} |}{| {\vec{n}}_{E} | \cdot | {\vec{n}}_{x y}} = \frac{| (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} \cdot 1} = \frac{| - 1 |}{\sqrt{5}}$
$α = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx {63,4}^{\circ}$
Der Winkel zwischen der xy-Ebene und der Ebene $E$ beträgt rund ${63,4}^{\circ}$ .
Benutze die beiden Normalenvektoren der beiden Ebenen und berechne den Winkel mit $\cos α = \frac{| {\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{x y} |}{| {\vec{n}}_{E} | \cdot | {\vec{n}}_{x y}}$
Betrachtet werden die Geraden $g_{t}$ , die senkrecht zu der Ebene $E$ liegen und durch die Punkte $S_{t}$ verlaufen.
Ermitteln Sie diejenigen Werte von $t$ , für die der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden $g_{t}$ und der Ebene $E$ im Inneren des Vierecks $A B C D$ liegt. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Lösung
Geraden $g_{t}$ , die senkrecht zu der Ebene $E$ liegen und durch die Punkte $S_{t}$ verlaufen
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ $\Rightarrow$ $g_{t} : \vec{x} = \vec{O S_{t}} + r \cdot {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ t \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Werte von $t$ , für die der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden $g_{t}$ und der Ebene $E$ im Inneren des Vierecks $A B C D$ liegt
$g_{t} \cap E$ :
$2 \cdot (0 + 2 r) - (t - r)$ $=$ $0$
↓
Löse die Klammer auf.
$4 r - t + r$ $=$ $0$ $+ t$
$5 r$ $=$ $t$ $: 5$
$r$ $=$ $\frac{1}{5} t$
Eingesetzt in $g_{t}$ :
$\vec{O S_{t}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ t \end{array}) + \frac{1}{5} t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{2}{5} t \\ 6 \\ t - \frac{1}{5} t \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{2}{5} t \\ 6 \\ \frac{4}{5} t \end{array})$
$\Rightarrow S_{t} (\frac{2}{5} t | 6 | \frac{4}{5} t)$
Die x-Koordinate des Rechtecks läuft von $0$ bis $2$ .
Demnach muss für die x-Koordinaten der Schnittpunkte gelten:
$0 < \frac{2}{5} t < 2$ oder $0 < t < 5$ .
Gilt $0 < t < 5$ , dann liegt der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden $g_{t}$ und der Ebene $E$ im Inneren des Vierecks $A B C D$ .
Anmerkung: Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Die dient nur zur Veranschaulichung.
Dargestellt ist hier das Viereck $A B C D$ , die Ebene $E$ , der Punkt $S_{5}$ und die zu $E$ senkrechte Gerade $g_{5}$ .
Die obere Kante des Rechtecks wird von der Gerade $g_{5}$ in der Mitte geschnitten (Punkt $N$ ).
In diesem Fall liegt der Schnittpunkt der Geraden $g_{5}$ und der Ebene $E$ nicht im Inneren des Vierecks $A B C D$ . Erst, wenn $0 < t < 5$ ist, wird das Viereck im Innern geschnitten.
Erstelle mit dem Normalenvektor der Ebene $E$ und dem Punkt $S_{t}$ die Gleichung der Geraden $g_{t}$ .
Schneide $g_{t}$ mit $E$ und berechne die Koordinaten $S_{t}$ des Schnittpunktes.
Überlege, welche x-Koordinatenwerte das Viereck $A B C D$ annehmen kann. Schließe daraus auf die möglichen t-Werte.
Im Folgenden gilt $t > 4$ .
Die Gerade durch die Punkte $S_{t}$ und $C$ schneidet die $x y$ -Ebene im Punkt $C_{t}^{'}$ , die Gerade durch die Punkte $S_{t}$ und $D$ schneidet diese Ebene im Punkt $D_{t}^{'}$ (vgl. Abbildung 1).
Die beiden folgenden Gleichungen I und II liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von $t$ .
I. $\vec{O S_{t}} + r \cdot \vec{S_{t} C} = \vec{O C_{t}^{'}}$ mit $C_{t}^{'} (x | y | 0)$
II. $\vec{B A} \cdot \vec{B C_{t}^{'}} = 0$
Geben Sie für diesen Wert von $t$ die Art des Vierecks $A B C_{t}^{'} D_{t}^{'}$ an und begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Art des Vierecks $A B C_{t}^{'} D_{t}^{'}$
Es handelt sich um ein Rechteck.
Begründung
Aus Gleichung $II \vec{B A} \cdot \vec{B C_{t}^{'}} = 0$ folgt, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Weiterhin ist das Viereck $A B C D$ symmetrisch zur Ebene $E_{1} : y = 6$ .
Der Punkt $S_{t}$ liegt ebenfalls in der Ebene $E_{1}$ . Aus Symmetriegründen liegt der Punkt $D_{t}^{'}$ symmetrisch zu $C_{t}^{'}$ (bezüglich der Ebene $E_{1}$ ).
Ebenso liegt der Punkt $A$ symmetrisch zum Punkt $B$ . Dann steht auch $A D_{t}^{'}$ senkrecht zu $A B$ und es ist $C_{t}^{'} D_{t}^{'}$ parallel zu $A B$ .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Die dient nur zur Veranschaulichung.
Der eingezeichnete Winkel im Rechteck $A B C_{t}^{'} D_{t}^{'}$ ist ein rechter Winkel.
Betrachte Gleichung II. Was folgt aus dieser Gleichung?
Beachte, dass das Viereck $A B C D$ symmetrisch zur Ebene $E_{1} : y = 6$ ist und dass der Punkt $S_{t}$ ebenfalls in der Ebene $E_{1}$ liegt.
Was folgt dann aus Symmetriegründen?
Das Volumen der Pyramide $A B C_{t}^{'} D_{t}^{'} S_{t}$ wird in Abhängigkeit von $t$ durch einen der drei abgebildeten Graphen $G_{1}, G_{2}$ und $G_{3}$ dargestellt (Abbildung 2).
Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Richtiger Graph
Der Graph $G_{2}$ gehört zu dem Pyramidenvolumen $A B C_{t}^{'} D_{t}^{'} S_{t}$ in Abhängigkeit von $t$ .
Begründung
Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .
In diesem Fall ist das Pyramidenvolumen $V (t) = \frac{1}{3} \cdot G (t) \cdot t$ für $t > 4$ .
Es besteht folgender Zusammenhang:
Nähert sich $t$ dem Wert $4$ , wird $G (t)$ beliebig groß, während die Höhe größer als $4$ ist. $\Rightarrow V \mapsto \infty$
Für $t \mapsto \infty$ wird die Höhe beliebig groß, während $G (t)$ immer kleiner wird und sich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Eckpunkten $A, B, (2 | 8 | 0)$ und $(2 | 4 | 0)$ nähert. $\Rightarrow V \mapsto \infty$
Es passt also nur Graph $G_{2}$ .
Für das Pyramidenvolumen gilt $V (t) = \frac{1}{3} \cdot G (t) \cdot t$ für $t > 4$ .
Untersuche, wie sich das Volumen verändert, wenn $t \mapsto 4$ geht bzw. wenn $t \mapsto \infty$ geht.
Schließe dann auf den passenden Graphen.