Wahlteil

Wahlaufgabe 1 - Trigonometrie

Die Abbildung zeigt den Übersichtsplan eines Stadtparks.

Quelle: MK Niedersachsen (Skizze nicht maßstäblich) — Quelle: MK Niedersachsen
(Skizze nicht maßstäblich)

Anna behauptet, dass der Winkel $β = 49 °$ beträgt.

Zeige mithilfe einer Rechnung, dass Anna recht hat. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelsumme im Dreieck
Das Dreieck hat drei Winkel mit den Größen:
$41 °$
$90 °$
$β$
Da die Winkelsumme $180 °$ beträgt, gilt:
$41 ° + 90 ° + β$ $=$ $180 °$ $- 41 ° - 90 °$
$β$ $=$ $49 °$
Anne hat recht, der Winkel $β$ ist $49 °$ groß.
Bestimme das Dreieck, in dem $β$ liegt.
Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer $180 °$ .
Verwende die Winkelsumme, um $β$ zu berechnen.
Anna beginnt mit der maßstäblichen Zeichnung des Übersichtsplans.
Vervollständige Annas Zeichnung. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lot zeichnen
Skizziere eine Hilfslinie, die am Eingang im Winkel $49 °$ zur Strecke steht.
Hilfslinie
Die zweite Hilfslinie steht senkrecht auf der Strecke.
Sie schneidet die erste Hilfslinie, sodass sie zusammen das linke Dreieck bilden.
Senkrechte
Linkes Dreieck
Auf der anderen Seite muss ein Lot am Eingang eingezeichnet werden.
Die Länge dieses Lots muss im richtigen Verhältnis zur Strecke "Eingang-Restaurant" stehen.
Lot
Im letzten Schritt müssen die Enden der Strecken nur noch fertig verbunden werden.
Fertige Skizze
Skizziere eine Hilfslinie, die am Eingang im $49 °$ -Winkel zur Strecke steht.
Zeichne beim Restaurant das Lot zur Strecke ein, sodass sich ein Schnittpunkt mit der Hilfslinie bildet.
Zeichne ein weiteres Lot ein, welches vom Eingang aus nach rechts geht. Die Länge der Strecke oben rechts muss im richtigen Maßstab zur ursprünglichen Strecke stehen.
Verbinde das Ende des Lots und das Ende der Strecke beim Restaurant.
Kreuze den Maßstab an, den Anna wählte. (1 BE)
- 1 : 100
- 1 : 1000
- 1 : 10 000
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab berechnen
Die Strecke "Eingang-Restaurant" ist laut Skizze $300 m$ lang.
Auf dem Papier misst die Strecke: $3 c m = 0,03 m$
Das entspricht einem Maßstab von:
$300 : 0,03$
↓
Dividiere
$=$ $10000$
Der verwendete Maßstab ist $1 : 10000$ . Achte darauf, dass die Längen unterschiedliche Einheiten besitzen.
Dividiere die Länge, die in der Skizze angegeben ist, durch die tatsächliche Länge auf dem Papier.
Das sollte mit jeder Strecke funktionieren.
Berechne die Größe des Winkels $α$ . (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck sind die Gegenkathete und Ankathete gegeben.
$α$ kann also mit dem Tangens bestimmt werden:
Rechtwinkliges Dreieck mit $α$
$\tan α$ $=$ $\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
↓
Einsetzen der Längen
$=$ $\frac{300}{650}$ $\tan^{- 1}$
↓
$\tan^{- 1}$ verwenden, um nach $α$ umzustellen
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{300}{650})$
$=$ $24,775... °$
↓
Runden
$\approx$ $24,78 °$
$α$ ist etwa $24,78 °$ groß.
Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem sich $α$ befindet.
Verwende den Tangens, um $α$ zu berechnen.
Berechne die Länge der Strecke $x$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Vom Winkel $41 °$ aus gesehen entspricht $300 m$ der Länge der Gegenkathete.
Die Länge der Hypotenuse $x$ ist gesucht.
Die Gleichung lautet mithilfe des Sinus:
Skizze
$\sin 41 °$ $=$ $\frac{300}{x}$ $\cdot x$
$\sin 41^{°} \cdot x$ $=$ $300$ $: \sin 41 °$
$x$ $=$ $\frac{300}{\sin 41 °}$
$x$ $=$ $457,275...$
$\approx$ $457,28$
Die Strecke $x$ ist etwa $457,28 m$ lang.
Verwende das rechtwinklige Dreieck, in dem sich $x$ befindet.
Stelle mit dem Sinus oder Kosinus eine Gleichung auf, in dem $x$ und $300 m$ vorkommen.
Forme diese Gleichung um und berechne die Länge.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$41 ° + 90 ° + β$	$=$	$180 °$	$- 41 ° - 90 °$
$β$	$=$	$49 °$

$\tan α$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
	↓	Einsetzen der Längen
	$=$	$\frac{300}{650}$	$\tan^{- 1}$
	↓	$\tan^{- 1}$ verwenden, um nach $α$ umzustellen
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{300}{650})$
	$=$	$24,775... °$
	↓	Runden
	$\approx$	$24,78 °$

$\sin 41 °$	$=$	$\frac{300}{x}$	$\cdot x$
$\sin 41^{°} \cdot x$	$=$	$300$	$: \sin 41 °$
$x$	$=$	$\frac{300}{\sin 41 °}$
$x$	$=$	$457,275...$
	$\approx$	$457,28$

	$300 : 0,03$
	↓ Dividiere
$=$	$10000$