Teil 1

Aufgabe 9

Der Flächeninhalt der abgebildeten Figur soll berechnet werden.

Zeichne eine passende Zerlegung oder Ergänzung in die Skizze ein, um den Flächeninhalt zu berechnen. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zerlegungsgleichheit
Lösung
Mögliche Zerlegung:
Die Fläche wird in ein Quadrat und zwei Dreiecke zerlegt.
Mögliche Ergänzung:
Die Fläche wird um ein Dreieck zu einem Rechteck ergänzt.
Zerlege oder ergänze die Fläche in Rechtecke und Dreiecke, deren Flächeninhalt du berechnen kannst.
Berechne den Flächeninhalt der Figur. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zerlegungsgleichheit
Lösung
Beispiel Zerlegung:
$A_{1}$ $=$ $a^{2}$
↓
Setze die Seitenlänge a ein
$=$ ${(4 c m)}^{2} = 4 c m \cdot 4 c m = 16 c m^{2}$
$A_{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
↓
Setze g und h ein
$=$ $\frac{1}{2} \cdot 4 c m \cdot 2 c m = 4 c m^{2}$
$A_{g e s a m t}$ $=$ $A_{1} + 2 \cdot A_{2}$
$=$ $16 c m^{2} + 2 \cdot 4 c m^{2} = 24 c m^{2}$
Wenn du in Teil a eine Zerlegung gemacht hast:
berechne die einzelnen Flächen
addiere die berechneten Flächen
Wenn du in Teil a eine Ergänzung gemacht hast:
berechne die Fläche, zu der du ergänzt hast
subtrahiere die Fläche, um die du ergänzt hast
Gib eine allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes der Figur in Abhängigkeit von x an. (1 BE)

Lösung
Beispiel Zerlegung:
$A_{1}$ $=$ $2 x \cdot 2 x = 4 x^{2}$
$A_{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot x = x^{2}$
$A_{g e s a m t}$ $=$ $A_{1} + 2 \cdot A_{2}$
$=$ $4 x^{2} + 2 \cdot x^{2} = 6 x^{2}$
Berechne auf die gleiche Weise wie in Teil b und setze statt der Längen in cm x, 2x und 4x ein.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$A_{1}$	$=$	$a^{2}$
	↓	Setze die Seitenlänge a ein
	$=$	${(4 c m)}^{2} = 4 c m \cdot 4 c m = 16 c m^{2}$

$A_{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
	↓	Setze g und h ein
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 c m \cdot 2 c m = 4 c m^{2}$

$A_{g e s a m t}$	$=$	$A_{1} + 2 \cdot A_{2}$
	$=$	$16 c m^{2} + 2 \cdot 4 c m^{2} = 24 c m^{2}$

$A_{g e s a m t}$	$=$	$A_{1} + 2 \cdot A_{2}$
	$=$	$4 x^{2} + 2 \cdot x^{2} = 6 x^{2}$