Wahlteil

Wahlaufgabe 4 - Quadratische Funktionen

Es wird eine Toreinfahrt in Form einer Parabel gebaut.

Die Parabel hat die Funktionsgleichung $y = – x^{2} + 4 x – 1.$

Ergänze den fehlenden Wert in der Wertetabelle. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertetabelle
Eingesetzt in die Funktion ist der Wert:
$y$ $=$ $- x^{2} + 4 x - 1$
↓
$x = 0,5$
$=$ $- {0,5}^{2} + 4 \cdot 0,5 - 1$
$=$ $- 0,25 + 2 - 1$
$=$ $0,75$
Setze den Wert $x = 0,5$ in die Funktion ein und berechne den Wert.
Skizziere die parabelförmige Toreinfahrt in das Koordinatensystem. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen
Verwende die Wertetabelle aus Aufgabenteil (a) und skizziere die Parabel.
Notiere die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
Aus der Wertetabelle bzw. der Skizze kann man den Scheitel bestimmen:
$S (2 | 3)$
Der Öffnungsfaktor der Parabel ist $a = - 1$ . Zusammen ergibt sich eingesetzt:
$y = - (x - 2)^{2} + 3$
Bestimme den Scheitel aus der Wertetabelle bzw. der Skizze oben.
Den Vorfaktor $a$ in der Scheitelform $y = a (x - d)^{2} + e$ ist der Öffnungsfaktor der Parabel.
Michel hat begonnen, die Breite der Toreinfahrt am Boden zu berechnen.
Vervollständige Michels Rechnung und berechne die Breite der Toreinfahrt am Boden.
(4 BE)
$0$ $=$ $- x^{2} + 4 x - 1$ $: (- 1)$
$0$ $=$ $x^{2} - 4 x + 1$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: pq-Formel
Nullstellen berechnen
$0$ $=$ $x^{2} - 4 x + 1$
↓
$p = - 4 q = 1$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
$=$ $- \frac{(- 4)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 4}{2})}^{2} - 1}$
$=$ $2 \pm \sqrt{3}$
$\Rightarrow x_{1}$ $=$ $2 + \sqrt{3} = 3,73$
$\Rightarrow x_{2}$ $=$ $2 - \sqrt{3} = 0,27$
Abstand der Nullstellen
$x_{1} - x_{2} = 2 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$
Die Einfahrt hat eine Breite von:
$2 \sqrt{3} = 3,464... \approx 3,46 m$
Berechne die Lösung der Gleichung $0 = x^{2} - 4 x + 1$ mithilfe der pq-Formel bzw. Mitternachtsformel.
Die Breite der Toreinfahrt ist der Abstand zwischen den Nullstellen.
Um die Breite der Toreinfahrt am Boden zu berechnen, hat Michel die Gleichung $y = – x^{2} + 4 x – 1$ im ersten Schritt folgendermaßen geändert: $0 = – x^{2} + 4 x – 1$ .
Begründe Michels ersten Schritt. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: pq-Formel
An den Schnittpunkten des Graphen mit der $x$ -Achse ist der $y$ -Wert $0$ .
Also wird dieser $0$ gesetzt und die Gleichung im Anschluss gelöst.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$y$	$=$	$- x^{2} + 4 x - 1$
	↓	$x = 0,5$
	$=$	$- {0,5}^{2} + 4 \cdot 0,5 - 1$
	$=$	$- 0,25 + 2 - 1$
	$=$	$0,75$

$0$	$=$	$x^{2} - 4 x + 1$
	↓	$p = - 4 q = 1$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	$=$	$- \frac{(- 4)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 4}{2})}^{2} - 1}$
	$=$	$2 \pm \sqrt{3}$
$\Rightarrow x_{1}$	$=$	$2 + \sqrt{3} = 3,73$
$\Rightarrow x_{2}$	$=$	$2 - \sqrt{3} = 0,27$

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Wahlaufgabe 4 - Quadratische Funktionen

Nullstellen berechnen

Abstand der Nullstellen