Wahlteil

Wahlaufgabe 2 - Wahrscheinlichkeit

Pia und Lea trinken gerne Tee. Diese Teebeutel liegen unsortiert in einer Teebox:

10 Beutel Kamillentee (K)
4 Beutel Erdbeertee (E)
6 Beutel Apfeltee (A).

Pia greift ohne hinzusehen in die Teebox und zieht nacheinander zwei Teebeutel heraus.
Ergänze im Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
In der ersten Stufe muss die Wahrscheinlichkeit:
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$
betragen.
In der zweiten Stufe muss die Wahrscheinlichkeit:
$1 - \frac{4}{19} - \frac{6}{19} = \frac{9}{19}$
betragen.
Verwende die Knotenregel. Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste aus einem Knoten müssen zusammen $1$ ergeben.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Pia erst Kamillentee und dann Apfeltee zieht.
(2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
Die Wahrscheinlichkeit für Kamillentee ist:
$P (K) = \frac{1}{2}$
Im zweiten Zug Apfeltee zu ziehen, kann man im Baumdiagramm auslesen:
$P (A) = \frac{6}{19}$
Insgesamt werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert:
$P (K A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{19} = \frac{6}{38} = 0,15789... \approx 15,79 %$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizierst.
Pia und Lea mögen keinen Erdbeertee.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Pia keinen Erdbeertee zieht. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Lösung über das Gegenereignis
Das Gegenereignis ist es, mindestens einmal Erdbeertee zu ziehen.
Dies ist möglich in fünf verschiedenen Ästen:
$P (Erdbeertee)$ $=$ $P (K E) + P (E K) + P (E E) + P (E A) + P (A E)$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{19} + \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{19} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{19} + \frac{1}{5} \cdot \frac{6}{19} + \frac{3}{10} \cdot \frac{4}{19}$
$=$ $\frac{4}{38} + \frac{10}{95} + \frac{3}{95} + \frac{6}{95} + \frac{12}{190}$
$=$ $\frac{70}{190}$
Die Wahrscheinlichkeit in irgendeiner Weise Erdbeertee zu ziehen ist $P = \frac{70}{190}$ .
Das Gegenereignis ist damit:
$P (keinen Erdbeertee) = 1 - \frac{70}{190} = \frac{120}{190}$
Verwende das Baumdiagramm.
Rechne mit dem Gegenereignis, also mit allen Ereignissen in denen Erdbeertee gezogen wird.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, in denen Erdbeertee enthalten ist.
Bestimme die Summe all dieser Wahrscheinlichkeiten - jetzt hast du die Wahrscheinlichkeit berechnet, bei zwei mal Ziehen mindestens einmal Erdbeertee zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses - keinen Erdbeertee zu ziehen - indem du die berechnete Wahrscheinlichkeit von 1 abziehst.
Alternativ:
Berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, in denen kein Erdbeertee enthalten ist.
Bestimme die Summe all dieser Wahrscheinlichkeiten.
Lea berechnet die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der folgenden Rechnung:
$P = 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{19} + \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{19})$
Gib das passende Ereignis an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
Die Wahrscheinlichkeit stellt folgendes Ereignis dar:
Lea zieht keinen Kamillen- und Erdbeertee.
$P = 1 - (\underset{P(KE)}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{19}}} + \underset{P(EK)}{\underset{⏟}{\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{19}}})$
Der Term stellt ein Gegenereignis dar.
Die einzelnen Terme können im Baumdiagramme mit Teesorten abgeglichen werden.
Pia und Lea wollen mit dem abgebildeten Glücksrad entscheiden, welchen Tee sie als nächstes trinken. Sie drehen das Glücksrad zweimal.
Begründe, dass das Zufallsexperiment nicht zum Baumdiagramm aus Aufgabenteil a) passt. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Urnenmodell
Beim Ziehen aus der Teebox verändern sich die Wahrscheinlichkeit innerhalb der Stufen.
Beim Drehen am Glücksrad verändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht zwischen den Stufen.
$\to$ Wenn sie das Glücksrad zweimal drehen, kann das Zufallsexperiment nicht gleich sein.
Vergleiche beide Zufallsexperimente:
Beim Ziehen aus der Teebox - wird zurückgelegt oder nicht?
Beim Drehen am Glücksrad - bleiben die Felder gleich oder nicht?

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$P (Erdbeertee)$	$=$	$P (K E) + P (E K) + P (E E) + P (E A) + P (A E)$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{19} + \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{19} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{19} + \frac{1}{5} \cdot \frac{6}{19} + \frac{3}{10} \cdot \frac{4}{19}$
	$=$	$\frac{4}{38} + \frac{10}{95} + \frac{3}{95} + \frac{6}{95} + \frac{12}{190}$
	$=$	$\frac{70}{190}$

Wahlteil

Wahlaufgabe 2 - Wahrscheinlichkeit

Lösung über das Gegenereignis