Teil 2

Aufgabe 7

Eine quadratische Pyramide hat ein Volumen von $150 {cm}^{3}$ . Die Körperhöhe $h_{K}$ beträgt $19 cm$ .

Berechne die Länge der Grundkante $a$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide
Wir berechnen $a$ durch das Volumen der Pyramide.
$V$ $=$ $\frac{1}{3} G \cdot h$
$=$ $\frac{1}{3} a^{2} \cdot h$
↓
Setze ein, was gegeben ist
$150$ $=$ $\frac{1}{3} a^{2} \cdot 19$ $: 19$
$\frac{150}{19}$ $=$ $\frac{1}{3} a^{2}$ $\cdot 3$
$3 \cdot \frac{150}{19}$ $=$ $a^{2}$ $\sqrt{}$
$a$ $=$ $\sqrt{3 \cdot \frac{150}{19}}$
$=$ $4,866...$
$\approx$ $4,87 c m$
Das Volumen ist gegeben durch die Formel $V = \frac{1}{3} G \cdot h$ .
Die Grundfläche $G$ setzt sich zusammen aus: $G = a^{2}$
Setze die gegebenen Informationen ein und ermittle $a$ .
Gegeben sind zwei quadratische Pyramiden mit gleicher Körperhöhe $h_{K}$ .
Das Volumen der ersten Pyramide ist viermal so groß wie das Volumen der zweiten Pyramide.
Kreuze die richtige Aussage an und begründe deine Entscheidung. (2 BE)
Die Grundkante der ersten Pyramide ist …
- doppelt so lang wie die Grundkante der zweiten Pyramide.
- dreimal so lang wie die Grundkante der zweiten Pyramide.
- viermal so lang wie die Grundkante der zweiten Pyramide.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide
Das Volumen ist:
$V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot h$
Setzt man eine doppelt so große Kantenlänge anstatt $a$ ein, ergibt sich:
$V^{'}$ $=$ $\frac{1}{3} a^{' 2} \cdot h$
↓
Doppelt so große Kantenlänge
$=$ $\frac{1}{3} {(2 \cdot a)}^{2} \cdot h$
$=$ $\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot a^{2} \cdot h$
Insgesamt kommt der Faktor $4$ hinzu, womit sich das Volumen der Pyramide vervierfacht hat.
Die Formel für das Volumen ist $V = \frac{1}{3} G \cdot h$ bzw. für die quadratische Pyramide: $V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot h$
Bestimme, wie sich das Volumen ändert, wenn verschiedene (bspw. doppelt so große) Werte in $a$ eingesetzt werden.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$V$	$=$	$\frac{1}{3} G \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} a^{2} \cdot h$
	↓	Setze ein, was gegeben ist
$150$	$=$	$\frac{1}{3} a^{2} \cdot 19$	$: 19$
$\frac{150}{19}$	$=$	$\frac{1}{3} a^{2}$	$\cdot 3$
$3 \cdot \frac{150}{19}$	$=$	$a^{2}$	$\sqrt{}$
$a$	$=$	$\sqrt{3 \cdot \frac{150}{19}}$
	$=$	$4,866...$
	$\approx$	$4,87 c m$

$V^{'}$	$=$	$\frac{1}{3} a^{' 2} \cdot h$
	↓	Doppelt so große Kantenlänge
	$=$	$\frac{1}{3} {(2 \cdot a)}^{2} \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot a^{2} \cdot h$