Teil B

Aufgabe B3

Die Parabel p verläuft durch die Punkte $P (6 | 6)$ und $Q (8 | 3)$ . Sie hat eine Gleichung

der Form: $y = - 0,25 x^{2} + b x + c (b, c, x, y \in ℝ) .$

Die Gerade g hat die Gleichung: $y = \frac{1}{5} x - 1 (x, y \in ℝ)$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel die Gleichung
$y = - 0,25 x^{2} + 2 x + 3$ hat.
Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x \in [- 2; 10]$ in ein Koordinatensystem ein. (4 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 c m; - 2 \leq x \leq 11; - 2 \leq y \leq 7$
geg.: Punkte $P (6 | 6)$ und $Q (8 | 3)$ auf der Parabel $p$ ;
Normalform von $p$ : $y = - 0,25 \cdot x^{2} + b \cdot x + c$
ges.: Koeffizienten $b$ und $c$ der Parabel $p$ ; Graph von $p$ und $g$
Berechnung der Parabelgleichung p aus zwei Punkten und dem Koeffizienten a
1. Allgemeine Parabelform lautet: $y = - 0,25 \cdot x^{2} + b \cdot x + c$
$\Rightarrow$ Öffnungsfaktor $𝐚 = - 𝟎,𝟐𝟓$
2. Punkte $P$ und $Q$ in Parabelgleichung einsetzen und Gleichungssystem aufstellen:
$(I) P (6 | 6) : \Rightarrow 6 = - 0,25 \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + c$
$(I I) Q (8 | 3) : \Rightarrow 3 = - 0,25 \cdot 8^{2} + b \cdot 8 + c$
3. lineares Gleichungssystem lösen (z.B. mit Einsetzungs-/ Addditions- / Gleichsetzung-Verfahren).
Hier Verwendung des Einsetzungsverfahrens:
a) Gleichung $(I)$ nach $c$ auflösen:
$\Rightarrow c = 6 + 0,25 \cdot 6^{2} - b \cdot 6 \Rightarrow 𝐜 = 𝟏𝟓 - 𝟔 𝐛$
b) Wert für $c$ in Gleichung $(I I)$ einsetzen und nach $b$ auflösen:
$3 = - 0,25 \cdot 8^{2} + 8 \cdot b + 15 - 6 \cdot b \Rightarrow 2 \cdot b = 3 - 15 + 16$
$\Rightarrow 2 \cdot b = 4 \Rightarrow 𝐛 = \frac{𝟒}{𝟐} = 𝟐$
c) Wert für $b$ in $c = 15 - 6 \cdot b$ einsetzen: $\Rightarrow 𝐜 = 15 - 6 \cdot 2 = 15 - 12 = 𝟑$
$\Rightarrow$ Parabelgleichung p: $𝐲 = - 𝟎,𝟐𝟓 \cdot 𝐱^{𝟐} + 𝟐 \cdot 𝐱 + 𝟑 mit x, y \in ℝ$
Graph von p und g im Bereich $x \in [- 2; 10]$ zeichnen mithilfe "Geogebra":
Zeichnung Parabel $p$ und Gerade $g$
Berechne die Koeffizienten der Parabel.
Setze dazu die Punkte aus der Aufgabenstellung in den Funktionsterm ein.
Das LGS, das sich dadurch ergibt, musst du lösen. Als Ergebnis erhältst du die Parameter.
Zeichne die Parabel und die Gerade in das Koordinatensystem ein.
Punkte $A_{n} (x | \frac{1}{5} x - 1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte $C_{n} (x | - 0,25 x^{2} + 2 x + 3)$
auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit Punkten $B_{n}$ Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n} .$ Es gilt: $y_{C_{n}} > y_{A_{n}} .$
Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$ in das Koordinaten-system zu $2 a .)$ ein. (2 P)
geg.: $A_{n} (x | \frac{1}{5} \cdot x - 1)$ und $C_{n} (x | - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3)$ auf $p$ mit derselben Abszisse $x$ Punkte $B_{n}$ sind Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n} .$
[im gleichseitigen $△$ gilt: $h = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2}$ , $h$ steht $⊥$ auf Seite $a$ und halbiert diese.]
Es gilt: $y_{C_{n}} > y_{A_{n}}$ d.h. die Punkte $C_{n}$ liegen über den Punkten $A_{n}$
ges.: Koordinaten der Dreieckseckpunkte für die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$ , Zeichnung der Dreiecke im KOSY
Eckpunkte für $△$ $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ berechnen:
$A_{1}$ auf $g : y = \frac{1}{5} \cdot x - 1 = \frac{1}{5} \cdot 0 - 1 = - 1 \Rightarrow 𝐀_{𝟏} (𝟎 | - 𝟏)$
$C_{1}$ auf $p : y = - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3 = - 0,25 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 3$
$= 0 + 0 + 3 = 3 \Rightarrow 𝐂_{𝟏} (𝟎 | 𝟑)$
$B_{1}$ Eckpunkt des $△$ $A_{1} B_{1} C_{1}$ mit Strecke $A_{1} C_{1} = 4 L E$
$\Rightarrow 𝐲_{𝐁_{𝟏}} = - 1 + 2 = 𝟏$ und
$\Rightarrow 𝐱_{𝐁_{𝟏}} = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} ≙ \sqrt{3} \cdot \frac{A_{1} C_{1}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{4}{2} = 2 \cdot \sqrt{3} \Rightarrow 𝐁_{𝟏} (𝟑,𝟒𝟔 | 𝟏)$
Eckpunkte für $△$ $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$ berechnen:
$A_{2}$ auf $g : y = \frac{1}{5} \cdot x - 1 = \frac{1}{5} \cdot 5 - 1 = 0 \Rightarrow 𝐀_{𝟐} (𝟓 | 𝟎)$
$C_{2}$ auf $p : y = - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3 = - 0,25 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 + 3$
$= - 6,25 + 10 + 3 = 6,75 \Rightarrow 𝐂_{𝟐} (𝟓 | 𝟔,𝟕𝟓)$
$B_{2}$ Eckpunkt des $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ mit der Strecke $A_{2} C_{2} = 6,75 L E$
$\Rightarrow 𝐲_{𝐁_{𝟐}} = 0 + \frac{6,75}{2} = 𝟑,𝟑𝟕𝟓$
$\Rightarrow 𝐱_{𝐁_{𝟐}} = 5 + 3,375 \cdot \sqrt{3} = 10,845 \Rightarrow 𝐁_{𝟐} (𝟏𝟎,𝟖𝟓 | 𝟑,𝟑𝟖)$
Einzeichnen der gleichseitigen Dreiecke
Parabel $p$ , Gerade $g$ , $△$ $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ und $△$ $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$
Berechne die Eckpunkte des Dreiecks $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0.$
Berechne die Eckpunkte des Dreiecks $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5.$
Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem und verbinde die Punkte zu Dreiecken.
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ gibt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: abc-Formel
geg.: $A_{n} (x | \frac{1}{5} \cdot x - 1)$ auf $g$ und $C_{n} (x | - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3)$ auf p mit derselben Abszisse x
ges.: Mögliche $x -$ Werte für die Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$
Vorgehen unter d er Voraussetzung, dass Punkte $A_{n}$ und $C_{n}$ auf der Parabel $p$ liegen
$y_{A_{n}} = y_{C_{n}}$ setzen, Äquivalenzumformung zur quadratischen Gleichung, Lösung mit abc-Formel:
$\frac{1}{5} \cdot x - 1 = y = - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3 x \in R$
$\frac{1}{5} \cdot x - 1 = y = - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3$ $\blue | - \frac{1}{5} \cdot x + 1$
$- 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3 - \frac{1}{5} \cdot x + 1 = 0$ | zusammenfassen
$- 0,25 \cdot x^{2} + \frac{9}{5} \cdot x + 4 = 0$
$\Rightarrow - 0,25 \cdot x^{2} + 1,8 \cdot x + 4 = 0$ |abc-Formel anwenden
Diskriminante $D$ berechnen
$𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 \cdot 𝐚 \cdot 𝐜 = {1,8}^{2} - 4 \cdot (- 0,25) \cdot 4 = 3,24 + 4 = 𝟕,𝟐𝟒$
$\Rightarrow 𝐃 > 𝟎 \Leftrightarrow 𝟐$ Lösungen
Lösungen $x_{1,2}$ berechnen
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 1,8 \pm \sqrt{7,24}}{2 \cdot (- 0,25)} = \frac{- 1,8 \pm 2,69}{- 0,5}$
$\Rightarrow x_{1} = \frac{- 1,8 + 2,69}{- 0,5} = - 1,78$
$\Rightarrow x_{2} = \frac{- 1,8 - 2,69}{- 0,5} = 8,98$
$\Rightarrow 𝕃 = {- 1,78; 8,98}$
Dreiecke $𝐀_{𝐧} 𝐁_{𝐧} 𝐂_{𝐧}$ gibt es für $𝐱 \in] - 𝟏,𝟕𝟖; 𝟖,𝟗𝟖 [$
Setze $y_{A n} = y_{C n}$ gleich und forme die Gleichung zu einer quadratischen Gleichung in der Normalform um.
Löse die quadratische Gleichung mit der pq-Formel oder abc-Formel.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $A_{n} C_{n}$ in Abhängigkeit
von $x$ gilt: $| A_{n} C_{n} | (x) = (0,25 x^{2} + 1,8 x + 4) L E$ . (1 P)

geg.: $A_{n} (𝐱 | \frac{1}{5} \cdot x - 1)$ und $C_{n} (𝐱 | - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3)$
ges.: $| \vec{A_{n} C_{n}} | (x)$
Bestimmung des Vektors $\vec{A_{n} C_{n}} (x)$ aus den Punkten $A_{n}$ und $C_{n}$
$\vec{A_{n} C_{n}} (x) = Spitze minus Fuß = (\begin{array}{c} 𝐱 \\ - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3) \end{array}) - (\begin{array}{c} 𝐱 \\ \frac{1}{5} \cdot x - 1) \end{array})$
$\vec{A_{n} C_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 𝐱 - 𝐱 \\ - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3 - \frac{1}{5} \cdot x + 1 \end{array})$
$= (\begin{array}{c} 𝟎 \\ - 𝟎,𝟐𝟓 \cdot 𝐱^{𝟐} + 𝟏,𝟖 \cdot 𝐱 + 𝟒 \end{array})$
Hinweis
Die x-Komponenten von $A_{n} (𝐱 | \frac{1}{5} \cdot x - 1)$ und $C_{n} (𝐱 | - 0,25 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 3)$ sind identisch. Somit kann auf die obige Vektordarstellung verzichtet werden und die Vektorlängenberechnung allein aus der Addition der y-Komponenten erfolgen!
Berechnung der Vektorlänge $\vec{A_{n} C_{n}} (x)$ mit dem Satz des Pythagoras
$| \vec{A_{n} C_{n}} | (x) = \sqrt{𝟎^{𝟐} + {(- 0,25 \cdot x^{2} + 1,8 \cdot x + 4)}^{2}}$
$| \vec{A_{n} C_{n}} | (x) = \sqrt{{(- 0,25 \cdot x^{2} + 1,8 \cdot x + 4)}^{2}}$ | Wurzel und Quadrat heben sich auf
$\Rightarrow | \vec{𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧}} | (𝐱) = [- 𝟎,𝟐𝟓 \cdot 𝐱^{𝟐} + 𝟏,𝟖 \cdot 𝐱 + 𝟒] 𝐋 𝐄$ mit $x \in] - 1,78; 8,98 [$
Bestimme den Vektor $\vec{A_{n} C_{n}} (x)$ und seine Länge.
Ermitteln Sie die maximale Streckenlänge $| A_{0} C_{0} |$ sowie den zugehörigen Wert für $x$ .
Berechnen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt $A_{m a x}$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Dreieck
geg.: Gleichung für Vektorlänge $| \vec{A_{n} C_{n}} | (x)$ (aus Aufgabe B 4.d)
ges.: max. $x -$ Wert, max. Vektorlänge, maximale Fläche der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$
Maximaler x-Wert und max. Streckenlänge $\vec{A_{0} C_{0}}$ ;
Die Länge von AC wird maximal beim Scheitelpunkt $𝐒 (- \frac{𝐛}{𝟐 𝐚} | 𝐜 - \frac{𝐛^{𝟐}}{𝟒 𝐚})$ von p,
d.h. bei $𝐱_{m a x} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{1,8}{2 \cdot (- 0,25)} = 𝟑,𝟔$
$x_{m a x .}$ einsetzen in $| \vec{A_{n} C_{n}} | (x) = [- 0,25 \cdot x^{2} + 1,8 \cdot x + 4] L E$ , mit $x \in] - 1,78; 8,98 [$
$\Rightarrow | \vec{A_{n} C_{n}} | (x)_{m a x} = [- 0,25 \cdot (3,6)^{2} + 1,8 \cdot 3,6 + 4] L E$
$\Rightarrow | \vec{A_{n} C_{n}} | (x)_{m a x} = [- 0,25 \cdot 12,96 + 6,48 + 4] L E$
$\Rightarrow | \vec{A_{n} C_{n}} | (x)_{m a x} = [- 3,24 + 6,48 + 4] L E$
$\Rightarrow | \vec{𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧}} | (𝐱)_{𝐦 𝐚 𝐱} = 𝟕,𝟐𝟒 𝐋 𝐄 für x = 3,6$
Maximaler Flächeninhalt der gleichseitigen Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ :
Für allgemeines Dreieck gilt: $A_{∆} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ mit $h = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2}$
Werte für $a = | \vec{A_{n} C_{n}} | (x)_{m a x} = 7,24 L E$ und $h = \sqrt{3} \cdot \frac{7,24}{2}$ einsetzen und Fläche berechnen:
$\Rightarrow A_{∆ m a x} = \frac{1}{2} \cdot 7,24 [L E] \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{7,24}{2} [L E]$
$𝐀_{∆ 𝐦 𝐚 𝐱} = 3,62 \cdot \sqrt{3} \cdot 3,62 = 13,1044 \cdot 1,732 = 22,69748 \approx 𝟐𝟐,𝟕𝟎 [𝐅 𝐄]$
Bestimmung den maximalen $x -$ Wert und damit das Maximum der Länge der Strecke von $\vec{A_{0} C_{0}}$ .
Untersuche dazu den quadratischen Term aus (e). Als Parabel aufgefasst, kann der Scheitel als Maximum bestimmt werden.
Berechne das Maximum des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ .
Die Winkel zwischen der Geraden $g$ und den Strecken $A_{n} B_{n}$ haben jeweils das gleiche Maß.
Berechnen Sie das zugehörige Maß $φ$ für das gilt: $φ < 90^{\circ} .$ (2,5 P)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
geg.: Gerade $g$ und Strecke $A_{n} B_{n}$
ges.: Winkel $φ$ zwischen $g$ und $A_{n} B_{n}$
Die Steigung der Geraden
$g : y = \frac{1}{5} \cdot x - 1$ ist $m = \frac{1}{5}$ $\Rightarrow \tan α = \frac{1}{5} \Rightarrow ∡ 𝛂 = 𝟏𝟏,𝟑𝟏 °$
Der Winkel im gleichseitigen Dreieck: $∡ B_{n} A_{n} C_{n} = 60 °$
Winkel $φ$ (siehe Zeichnung):
$\Rightarrow 𝛗 = 90 ° - 60 ° - 11,31 ° = 𝟏𝟖,𝟔𝟗 °$
Illustration der Winkel
Berechne den Winkel $φ$ zwischen $g$ und $A_{n} B_{n}$ aus der Summe von Einzelwinkeln .