Teil B- Aufgabengruppe II

Das Alter von archäologischen Knochenfunden kann über die Masse des

vorhandenen radioaktiven Kohlenstoffisotops $C1$ bestimmt werden.

Die Halbwertszeit für das Kohlenstoffisotop $C1$ beträgt $5730$ Jahre.

Berechnen Sie die Masse an $C1$ , die bei einer Ausgangsmasse von
$10,5$ Gramm nach $28650$ Jahren noch vorhanden ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstums- und Zerfallsprozesse
Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:
$N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$
$N_{0} = 10,5 g$
$a = 0,5 da es sich hier um die Halbwertzeit handelt$
$t = \frac{28650}{5730} = 5;$ d.h. $28650$ Jahre sind $5$ Halbwertzeiten.
Setze die Werte in die Formel ein.
$N (5) = 10,5 g \cdot {0,5}^{5}$
$N (5) \approx 0,33 g$
Nach $28650$ Jahren sind noch ca. $0,33 g$ der Ausgangsmasse vorhanden.
Beachte, $a = 0,5$ ; und $t = \frac{28650}{5730}$ .
In einem gefundenen Knochen befinden sich noch $0,125$ Milligramm des Kohlenstoffisotops $C1$ . Wissenschaftler bestimmen das Alter des Knochens auf $48705$ Jahre.
Bestimmen Sie rechnerisch die Masse des ursprünglich vorhandenen Kohlenstoffisotops $C1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstums- und Zerfallsprozesse
Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:
$N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$
$N_{t} = 0,125 m g$
$a = 0,5 da es sich hier um die Halbwertzeit handelt$
$t = \frac{48750}{5730} = 8,5;$ d.h. $48750$ Jahre sind $8,5$ Halbwertzeiten.
Setze die Werte in die Formel ein.
$0,125 m g = N_{0} \cdot {0,5}^{8,5}$
$N_{0} = \frac{0,125 m g}{{0,5}^{8,5}}$
$N_{0} \approx 45,25 m g$
Die Masse des ursprünglich vorhandenen Kohlenstoffisotops $C1$ betrug ca.:
$45,25 m g$
Stelle die Formel für den exponentiellen Zerfall nach $N_{0}$ um und berechne die Masse des ursprünglich vorhandenen Kohlenstoffisotops $C1$ .
Im Lonetal wurde der Knochen eines Mammuts gefunden. Der Anteil des
radioaktiven Kohlenstoffisotops $C1$ ist zum Zeitpunkt der Untersuchung
bereits auf $63 %$ gesunken.
Berechnen Sie das Alter des Knochens.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstums- und Zerfallsprozesse
Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:
$N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$
Wir wissen, dass $N_{t} = 0,63 \cdot N_{0}$ ist. Mit $a = 0,5$ ist also:
$N (t)$ $=$ $N_{0} \cdot a^{t}$
↓
Einsetzen
$0,63 \cdot N_{0}$ $=$ $N_{0} \cdot {0,5}^{t}$ $: N_{0}$
$0,63$ $=$ ${0,5}^{t}$
Berechne $t$ mit Hilfe des Logarithmus.
$l o g_{0,5} (0,63) = t$
$t = \frac{\lg 0,63}{\lg 0,5} \Rightarrow t = \frac{- 0,200}{- 0,301} \Rightarrow t \approx 0,67$
$t$ entspricht ungefähr $0,67$ Halbwertszeiten, um die Jahre zu erhalten, multipliziere $0,67$ mit $5730$ , da die Halbwertszeit $5730$ Jahre entspricht.
$0,67 \cdot 5730 J a h r e = 3839 J a h r e$
Das Alter des Knochens beträgt ca. $3839$ Jahre.
Stelle die Formel für den exponentiellen Zerfall nach $t$ um und berechne das Alter des Knochens

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$N (t)$	$=$	$N_{0} \cdot a^{t}$
	↓	Einsetzen
$0,63 \cdot N_{0}$	$=$	$N_{0} \cdot {0,5}^{t}$	$: N_{0}$
$0,63$	$=$	${0,5}^{t}$