Teil B-Aufgabengruppe I

Geben Sie die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermitteln Sie rechnerisch die Lösungsmenge.

$\frac{x}{2} + \frac{x + 7}{2 x - 4} = \frac{6 \cdot (x - 2)}{16}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen

Die Definitionsmenge lautet: D= $ℝ$ \ { $2$ }, da kein Nenner $0$ werden darf.

$\frac{x}{2} + \frac{x + 7}{2 x - 4}$	$=$	$\frac{6 \cdot (x - 2)}{16}$	$2 \cdot (2 x - 4) \cdot 16$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner und kürze
$x \cdot (2 x - 4) \cdot 16 + (x + 7) \cdot 2 \cdot 16$	$=$	$6 \cdot (x - 2) \cdot 2 \cdot (2 x - 4)$
	↓	Multipliziere die Klammen aus
$32 x^{2} - 64 x + 32 x + 224$	$=$	$(12 x - 24) \cdot (2 x - 4)$
	↓	Multiplizire die Klammen aus und fasse zusammen
$32 x^{2} - 32 x + 224$	$=$	$24 x^{2} - 48 x - 48 x + 96$
	↓	Fasse zusammen
$8 x^{2} + 64 x + 128$	$=$	$0$	$: 8$
	↓	dividiere
$x^{2} + 8 x + 16$	$=$	$0$

Mitternachtsformel: $x_{1,2} = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{- 8}{2}$

$x = - 4$

$𝕃 = {- 4}$

Für die Definitionsmenge: Untersuche für welche Werte von $x$ im Nenner $0$ stehen würde.
Ermittle den Hauptnenner und vereinfache das Gleichungssystem soweit wie möglich.
Berechne die Lösung mit Hilfe der Mitternachtsformel.