Teil B-Aufgabengruppe I

Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Parabel $p_{1} : y = (x + 5,5)^{2} + 1$ in der Normalform

$y$ $=$ $(x + 5,5)^{2} + 1$
↓
berechne die Klammer
$=$ $x^{2} + 11 x + 30,25 + 1$
↓
fasse zusammen
$=$ $x^{2} + 11 x + 31,25$
$p_{1} : y = x^{2} + 11 x + 31,25$
Die Normalform erhältst du, indem du in der Scheitelform die Klammer auf der rechten Gleichungsseite auflöst.
Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte $P (- 3 | 4)$ und $Q (0,5 | 37)$ auf der Parabel $p_{1}$ liegen.

$p 1 : y = (x + 5,5)^{2} + 1$
$P (- 3 | 4)$ einsetzen: $y = (- 3 + 5,5)^{2} + 1 = {2,5}^{2} + 1 = 6,25 + 1 = 7,25$
$4 \neq 7,5$ $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ liegt nicht auf der Parabel $p_{1}$ .
$Q (0,5 | 37)$ einsetzen: $y = (0,5 + 5,5)^{2} + 1 = 36 + 1 = 37$
$37 = 37$ $\Rightarrow$ Der Punkt $Q$ liegt auf der Parabel $p_{1}$ .
Setze die $x$ -Werte der Punkte $P (- 3 | 4)$ und $Q (0,5 | 37)$ in die Funktionsgleichung ein und vergleiche das Ergebnis mit den jeweiligen $y$ -Werten
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel $p_{2} : y = - x^{2} - 9 x - 14,25$ in der Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt $S_{2}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
$y = - x^{2} - 9 x - 14,25$
$y = - (x^{2} + 9 x + 14,25)$
Suche die richtige binomische Formel.
$y = - (x + 4,5)^{2} + 6$
Die Scheitelpunktform lautet $p_{2}$ : $y = - (x + 4,5)^{2} + 6.$
Der Scheitelpunkt $S_{2} (- 4,5 | 6) .$
Klammere zunächst (-1) aus.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $B$ der beiden Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel
$x^{2} + 11 x + 31,25$ $=$ $- x^{2} - 9 x - 14,25$
↓
fasse zusammen
$2 x^{2} + 20 x + 45,5$ $=$ $0$ $: 2$
$x^{2} + 10 x + 22,75$ $=$ $0$
Mitternachtsformel: $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 22,75}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 91}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{- 10 \pm 3}{2}$
$x_{1} = - 6,5$
$\Rightarrow y_{1} = (- 6,5)^{2} + 11 \cdot (- 6,5) + 31,25 = 42,25 - 71,5 + 31,25 = 73,5 - 71,5 = 2$
$x_{2} = - 3,5$
$y_{2} = (- 3,5)^{2} + 11 \cdot (- 3,5) + 31,25 = 12,25 - 38,5 + 31,25 = 43,5 - 38,5 = 5$
$x_{1} = - 6,5;$ $y_{1} = 2$
$x_{2} = - 3,5$ ; $y_{2} = 5$
Setze die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln gleich.
ZeichnenSie die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1 c m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel $p_{3}$ liegt im dritten Quadranten. Diese Parabel wird erst an der $x$ -Achse und dann an der $y$ -Achse gespiegelt.
Beschreiben Sie nachvollziehbar, in welchem Quadranten der Scheitelpunkt der so entstandenen Parabel $p_{4}$ liegt, und in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

Der Scheitelpunkt der nach unten geöffnete Parabel $p_{3}$ liegt im 3. Quadranten.
1. Spiegelung an der x-Achse: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im 2. Quadranten. Die Parabel ist jetzt nach oben geöffnet.
2. Spiegelung an der y-Achse: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im 1. Quadranten. Die Parabel bleibt nach oben geöffnet.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$y$	$=$	$(x + 5,5)^{2} + 1$
	↓	berechne die Klammer
	$=$	$x^{2} + 11 x + 30,25 + 1$
	↓	fasse zusammen
	$=$	$x^{2} + 11 x + 31,25$

$x^{2} + 11 x + 31,25$	$=$	$- x^{2} - 9 x - 14,25$
	↓	fasse zusammen
$2 x^{2} + 20 x + 45,5$	$=$	$0$	$: 2$
$x^{2} + 10 x + 22,75$	$=$	$0$