Nachtermin Teil B

Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P (- 9 | 44)$ und $Q (6 | 14)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y = 0,4 x^{2} + b x + c$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ und $b, c \in ℝ$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,2 x + 0,5$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung $y = 0,4 x^{2} - 0,8 x + 4,4$ hat.
Zeichnen Sie sodann die Gerade g sowie die Parabel p für $x \in [- 3; 5]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $- 5 \leq x \leq 6; 1 \leq y \leq 11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Berechnen von $b$ und $c$
$y = 0,4 x^{2} + b x + c$
einsetzen der Koordinaten von $P$ und $Q$
$I (P)$ : $44 = 0,4 \cdot (- 9)^{2} + (- 9) b + c b, c \in ℝ$
$I I (Q)$ : $14 = 0,4 \cdot 6^{2} + 6 b + c$
$I (P) :$ $11,6 = - 9 b + c \Rightarrow c = 11,6 + 9 b$
$I I (Q) :$ $- 0,4 = 6 b + c \Rightarrow c = - 0,4 - 6 b$
$11,6 + 9 b$ $=$ $- 0,4 - 6 b$ $+ 6 b - 11,6$
$15 b$ $=$ $- 12$ $: 15$
$b$ $=$ $- 0,8$
berechne c, setze b in die Gleichung $I (P)$ ein
$c = 11,6 + 9 \cdot (- 0,8) \Rightarrow c = 4,4$
$𝕃 (b | c) = (- 0,8 | 4,4)$
$p : y = 0,4 x^{2} - 0,8 x + 4,4 𝔾 = ℝ x ℝ$
Einzeichnen der Parabel $p$ sowie der Gerade $g$ in ein Koordinatensystem
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: $y = a x^{2} + b x + c .$
Der Öffnungsfaktor $a$ ist bekannt, außerdem kennst du noch die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q .$ Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung ein und berechne $b$ und $c$ .
Punkte $B_{n}$ und $D_{n}$ sind zusammen mit Punkten $A_{n} (x | 0,2 x + 0,5)$ auf der Geraden g und Punkten $C_{n} (x | 0,4 x^{2} - 0,8 x + 4,4)$ auf der Parabel p die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Geraden $A_{n} C_{n}$ als Symmetrieachse.
Es gilt: $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})$ .
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2,5$ und das Drachenviereck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2,5$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
Einzeichnen der Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} .$
Zeichne zuerst die Symmetrieachse $A_{n} C_{n}$ .
In allen Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ haben die Winkel $B_{n} A_{n} D_{n}$ das gleiche Maß $ϵ$ . Berechnen Sie das Maß $ϵ$ der Winkel $B_{n} A_{n} D_{n}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Die Skizze braucht nicht angefertigt zu werden.
Berechnen des Maßes $ϵ$ der Winkel $∠ B_{n} A_{n} D_{n}$
$\tan \frac{ϵ}{2} = \frac{2}{3}; \tan \frac{ϵ}{2} = 0. 6 \Rightarrow \frac{ϵ}{2} = {33,69}^{\circ}$
$ϵ = 2 \cdot {33,69}^{\circ}$
$ϵ = {67,38}^{\circ}$
Das Maß $ϵ$ der Winkel $B_{n} A_{n} D_{n}$ beträgt: ${67,38}^{\circ}$
Berechne den Winkel $B_{n} A_{n} D_{n}$ mithilfe des Tangens.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt A der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $A_{n}$ gilt: $A (x) = (0,8 x^{2} - 2 x + 7,8) F E .$ [Teilergebnis: $A_{n} C_{n} (x) = 0,4 x^{2} - x + 3,9) L E$ ]
Unter den Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ hat das Drachenviereck $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ den minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ und den zugehörigen Wert für $x$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$
lautet:
$A = \frac{1}{2} \cdot B_{n} D_{n} \cdot A_{n} C_{n}$
Da $B_{n} D_{n} = 2 \cdot 2 = 4 L E$ bekannt ist (siehe Aufgabenstellung), musst du noch die Länge der Strecke $A_{n} C_{n} (x)$ berechnen. Da die Punkte $A_{n}$ und $C_{n}$ die gleiche Abszisse $x$ haben, berechnet sich die Länge $A_{n} C_{n} (x)$ aus der Differenz der $y$ -Koordinaten von $A_{n}$ und $C_{n}$ :
$A_{n} C_{n} (x) = [0,4 x^{2} - 0,8 x + 4,4 - (0,2 x + 0,5)] L E x \in ℝ$
$A_{n} C_{n} (x) = (0,4 x^{2} - x + 3,9) L E$
$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (0,4 x^{2} - x + 3,9) F E x \in ℝ$
$A (x) = (0,8 x^{2} - 2 x + 7,8) F E$
Berechnen des Flächeninhaltes des Drachenvierecks $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$
$A (x)$ beschreibt eine nach oben offene Parabel, denn $A (x)$ ist eine Gleichung von der Form $a x^{2} + b x + c$ mit $a > 0$ . Um den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für $A (x)$ in die Scheitelpunktform überführen. Du kannst entwederdie quadratische Ergänzung anwenden, oder du benutzt die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts.
Berechnen des Scheitelpunkts mit quadratischer Ergänzung:
$A (x) = 0,8 x^{2} - 2 x + 7,8$
$A (x) = 0,8 (x^{2} - 2,5 x) + 7,8$
$A (x) = 0,8 (x^{2} - 2 \cdot 1,25 x + {1,25}^{2} - {1,25}^{2}) + 7,8$
$A (x) = 0,8 [(x - 1,25)^{2} - 1,5625] + 7,8$
$A (x) = 0,8 (x - 1,25)^{2} - 1,25 + 7,8$
$A (x) = 0,8 (x - 1,25)^{2} + 6,55$
Hier können wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes von $A (x)$ ablesen. $x_{s} = 1,25$ und $y_{s} = 6,55$ . Somit ist $A_{min} = 6,55 F E$ für $x = 1,25$ .
Berechnen des Scheitelpunkts mit der Formel:
Die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts lautet:
$S (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 \cdot a})$
Geg.: $a = 0,8; b = - 2 c = 7,8$
Einsetzen der Werte in die Formel:
$x_{s} = - \frac{- 2}{2 \cdot 0,8} \Rightarrow x_{s} = 1,25; y_{s} = 7,8 - \frac{(- 2)^{2}}{4 \cdot 0,8} \Rightarrow y_{s} = 6,55$
Aufstellen der Funktionsgleichung zum Berechnen des Flächeninhalts der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$
Begründen Sie, dass für $A_{3} C_{3} = A_{4} C_{4} = 6 L E$ die Drachenvierecke Rauten sind.
Ermitteln Sie die $x$ -Werte der Punkte $A_{3}$ und $A_{4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm, Raute, Drachenviereck und Trapez
Begründung:
Drachenvierecke sind Rauten, wenn sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Da die $y$ -Werte der Punkte $B_{n}$ und $D_{n}$ um $3$ größer sind als die $y$ -Werte von $A_{n}$ ,
müssen die $y$ -Werte von $C_{n}$ insgesamt um $6$ größer sein als die $y$ -Werte von $A_{n} .$
Berechnen der $x$ -Werte der Punkte $A_{3}$ und $A_{4}$ .
$A_{3} C_{4} = A_{4} C_{4} = 6 L E$
$0,4 x^{2} - x + 3,9 = 6 x \in ℝ$
$0,4 x^{2} - x - 2,1 = 0$
Löse die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 0,4 \cdot (- 2,1)}}{2 \cdot 0,4}$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{4,36}}{2 \cdot 0,4} \Rightarrow x_{1} = - 1,36; x_{2} = 3,86$
$𝕃 = {- 1,36 | 3,86}$
Eine Raute ist ein spezielles Drachenviereck, bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen.
Setze $0,4 x^{2} - x + 3,9 = 6$ und berechne die $x$ -Werte der Punkte $A_{3}$ und $A_{4} .$
Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Punkte $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ nicht gemeinsam auf einer Geraden liegen können.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm, Raute, Drachenviereck und Trapez
$A_{n} C_{n} (x) = (0,4 x^{2} - x + 3,9) L E$
setze $A_{n} C_{n} (x) = 3$
$0,4 x^{2} - x + 3,9 = 3 x \in ℝ$
Lösen der quadratischen Gleichung:
$0,4 x^{2} - x + 3,9$ $=$ $3$ $- 3$
↓
subtrahiere
$0,4 x^{2} - x + 0,9$ $=$ $0$
↓
berechne $x_{1 / 2}$ mit der Mitternachtsformel.
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 0,4 \cdot 0,9}}{2 \cdot 0,4}$
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{- 0,44}}{2 \cdot 0,4}$
$D = - 0,44 D < 0 𝕃 = \emptyset$
Die Punkte $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden.
Liegen die Punkte $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ auf einer gemeinsamen Geraden, so muss für die Strecke $[A_{n} C_{n}]$ gelten: $A_{n} C_{n} = 3 L E .$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$11,6 + 9 b$	$=$	$- 0,4 - 6 b$	$+ 6 b - 11,6$
$15 b$	$=$	$- 12$	$: 15$
$b$	$=$	$- 0,8$

$0,4 x^{2} - x + 3,9$	$=$	$3$	$- 3$
	↓	subtrahiere
$0,4 x^{2} - x + 0,9$	$=$	$0$
	↓	berechne $x_{1 / 2}$ mit der Mitternachtsformel.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 0,4 \cdot 0,9}}{2 \cdot 0,4}$
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{- 0,44}}{2 \cdot 0,4}$

Nachtermin Teil B

Berechnen von b und c

Einzeichnen der Drachenvierecke A1B1C1D1 und A2B2C2D2.

Berechnen des Maßes ϵ der Winkel ∠BnAnDn

Aufstellen der Funktionsgleichung zum Berechnen des Flächeninhalts der Drachenvierecke AnBnCnDn

Begründung:

Berechnen der x-Werte der Punkte A3 und A4.

Berechnen von $b$ und $c$

Einzeichnen der Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} .$

Berechnen des Maßes $ϵ$ der Winkel $∠ B_{n} A_{n} D_{n}$

Aufstellen der Funktionsgleichung zum Berechnen des Flächeninhalts der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$

Berechnen der $x$ -Werte der Punkte $A_{3}$ und $A_{4}$ .