Nachtermin Teil A

Gegeben sind Sechsecke $A B_{n} C_{n} D E_{n} F_{n}$ mit der Symmetrieachse $A D$ . Der Punkt $G$ ist der Mittelpunkt der Strecken $[C_{n} E_{n}]$ und $[B_{n} F_{n}]$ .

Es gilt: $A G = 4 cm$ und $D G = 3 cm$ .

Die Winkel $B_{n} A F_{n}$ haben das Maß $φ$ und die Winkel $E_{n} D C_{n}$ haben das Maß $2 φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ} [.$

Die Zeichnung zeigt das Sechseck $A B_{1} C_{1} D E_{1} F_{1}$ für $φ = 40^{\circ}$ .

Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken $[B_{n} F_{n}]$ und $[C_{n} E_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $B_{n} F_{n} (φ) = 8 \cdot tan (0,5 \cdot φ) cm$ und $C_{n} E_{n} (φ) = 6 \cdot tan φ cm .$

Die Längen der Strecken $B_{n} F_{n}$ und $C_{n} E_{n}$ :
Da $G$ der Mittelpunkt der Längen $[C_{n} E_{n}]$ und $[B_{n} F_{n}]$ ist, ist die gesuchte Länge $B_{n} F_{n} = 2 \cdot B_{n} G$ .
$[B_{n} G]$ im rechtwinkligen Dreieck $A B_{n} G$ (rot) mithilfe der Trigonometrie:
$\tan (∡ G A B_{n}) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ G A B_{n}) = \frac{B_{n} G}{A G}$
$\tan (0,5 \cdot φ) = \frac{B_{n} G}{4 cm}$ | $\cdot 4 cm$
$B_{n} G = \tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm$
Daraus folgt:
$B_{n} F_{n} (φ) = 2 \cdot B_{n} G = 2 \cdot \tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm = 8 \cdot \tan (0,5 \cdot φ) cm$
Da G der Mittelpunkt der Längen $[C_{n} E_{n}]$ und $[B_{n} F_{n}]$ ist, ist die gesuchte Länge $C_{n} E_{n} = 2 \cdot C_{n} G$ .
Wir gehen wie oben vor:
$[C_{n} G]$ im rechtwinkligen Dreieck $C_{n} D G$ (rot) mithilfe der Trigonometrie:
$\tan (∡ G D C_{n}) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ G D C_{n}) = \frac{C_{n} G}{{D G}_{}}$
$\tan (φ) = \frac{C_{n} G}{3 cm}$ | $\cdot 3 cm$
$C_{n} G = \tan (φ) \cdot 3 cm$
$C_{n} E_{n} (φ) = 2 \cdot C_{n} G = 2 \cdot \tan (φ) \cdot 3 cm = 6 \cdot \tan φ cm$

Die Sechsecke $A B_{n} C_{n} D E_{n} F_{n}$ rotieren um die Gerade $A D$ .

Zeigen Sie, dass für den Oberflächeninhalt $O$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $φ$ gilt:

$O (φ) = (16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan (φ)}{\cos (φ)} + 9 π \cdot \tan^{2} φ - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$

Für das Sechseck $A B_{2} C_{2} D E_{2} F_{2}$ gilt: $A B_{2} = B_{2} F_{2} = F_{2} A$ .

Zeichnen Sie das Sechseck $A B_{2} C_{2} D E_{2} F_{2}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

Berechnen Sie sodann den Oberflächeninhalt des zugehörigen Rotationskörpers. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$O_{1} (φ)$	$=$	$r_{1}^{2} \cdot π + r_{1} \cdot π \cdot s_{1}$
	$=$	$({(\tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm)}^{2} \cdot π + (\tan (0,5 \cdot φ) \cdot π \cdot 4 cm) \cdot \frac{4 cm}{\cos (0,5 \cdot φ)})$
	$=$	$(16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ) + 16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)}) {cm}^{2}$

$O_{2} (φ)$	$=$	$r_{2}^{2} \cdot π + r_{2} \cdot π \cdot s_{2}$
	$=$	$(r_{2}^{2} \cdot π + r_{2} \cdot π \cdot s_{2})$
	$=$	$({(\tan (φ) \cdot 3 cm)}^{2} \cdot π + (\tan (φ) \cdot 3 cm) \cdot π \cdot \frac{3 cm}{\cos φ})$
	$=$	$(9 π \cdot \tan^{2} φ + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ}) {cm}^{2}$

$K_{1} (φ)$	$=$	$r_{1}^{2} \cdot π$
	$=$	${(\tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm)}^{2} \cdot π$
	$=$	$16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)$

$O (φ)$	$=$	$O_{1} + O_{2} - 2 \cdot K_{1}$
	$=$	$(16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ) + 16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \tan^{2} φ + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} - 2 \cdot (16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ))) {cm}^{2}$
	↓	Sortieren wie in der Angabe.
	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} + 9 π \cdot \tan^{2} φ + 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ) - 32 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$
	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} + 9 π \cdot \tan^{2} φ - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$

$O (φ)$	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} + 9 π \cdot \tan^{2} φ - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$
	↓	Setze $φ = 60^{\circ}$ ein.
$O (60^{\circ})$	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot 60^{\circ})}{\cos (0,5 \cdot 60^{\circ})} + 9 π \cdot \frac{\tan 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} + 9 π \cdot \tan^{2} (60^{\circ}) - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot 60^{\circ})) {cm}^{2}$
$O (60^{\circ})$	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (30^{\circ})}{\cos (30^{\circ})} + 9 π \cdot \frac{\tan 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} + 9 π \cdot \tan^{2} (60^{\circ}) - 16 π \cdot \tan^{2} (30^{\circ})) {cm}^{2}$
$O (60^{\circ})$	$=$	$(16 π \cdot \frac{2}{3} + 9 π \cdot 2 \sqrt{3} + 9 π \cdot 3 - 16 π \cdot \frac{1}{3}) {cm}^{2}$
$O (60^{\circ})$	$=$	$(\frac{32}{3} π + 18 π \sqrt{3} + 27 π - \frac{16}{3} π) {cm}^{2}$
	↓	Klammere $π$ aus.
$O (60^{\circ})$	$=$	$π (\frac{32}{3} + 18 \sqrt{3} + 27 - \frac{16}{3}) {cm}^{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$O (60^{\circ})$	$=$	$199,52 {cm}^{2}$