Nachtermin Teil B

Der Punkt $C (2 | - 1)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten $A_{n} B_{n} C D_{n}$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_{n}$ . Die Punkte $A_{n} (x | 0,25 x + 2)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0,25 x + 2$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Die Diagonalen $[A_{n} C]$ der Rauten sind doppelt so lang wie die Diagonalen $[B_{n} D_{n}]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ und die Rauten $A_{1} B_{1} C D_{1}$ für $x = - 8$ und $A_{2} B_{2} C D_{2}$ für $x = 4$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm; - 9 ≦ x ≦ 5; - 3 ≦ y ≦ 4$

Raute $A_{1} B_{1} C D_{1}$ :
Für $x = - 8$ hat der Punkt $A_{1}$ die Koordinaten $(- 8 | 0)$ . Der Diagonalenschnittpunkt $M_{1}$ liegt mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_{1}$ und dem Punkt $C_{1} (2 | - 1)$ :
$\vec{A_{1} C} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 8 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 \\ - 1 \end{array})$
$\begin{aligned} \vec{M_{1}} & = \vec{A_{1}} + 0,5 \cdot \vec{A_{1} C} \\ M_{1} & = (\begin{array}{c} - 8 \\ 0 \end{array}) + 0,5 \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 0,5 \end{array}) . \end{aligned}$
Die Länge von $| \vec{A_{1} C} | = \sqrt{10^{2} + (- 1)^{2}} \approx 10,05 cm$ ist doppelt so lang wie $\vec{B_{1} D_{1}} .$ Insbesondere ist also die Länge von
$| \vec{A_{1} M_{1}} | = | \vec{M_{1} C} | = 0,5 \cdot | \vec{A_{1} C} |,$
da $M_{1}$ die Diagonalen halbiert. Daher gilt auch, dass
$| \vec{B_{1} M_{1}} | = | \vec{M_{1} D_{1}} | = 0,5 \cdot | \vec{B_{1} D_{1}} | = 0,5 \cdot 0,5 \cdot | \vec{A_{1} C} | = 0,25 \cdot | \vec{A_{1} C} | .$
Zusätzlich wissen wir, dass sich $| \vec{A_{1} C} |$ und $| \vec{B_{1} D_{1}} |$ im rechten Winkel schneiden, da $A_{1} B_{1} C D_{1}$ eine Raute ist. Mit diesem Wissen können wir nun die Punkte $B_{1}$ und $D_{1}$ berechnen:
Ein Vektor, der senkrecht auf $\vec{A_{1} C} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 1 \end{array})$ steht, ist z.B. der Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \end{array}),$ denn das Skalarprodukt $(\begin{array}{c} 10 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \end{array}) = 0.$ Der Vektor $\vec{v_{1}}$ hat die gleiche Länge wie $\vec{A_{1} C}$ . Damit können wir nun die beiden Punkte $B_{1}$ und $D_{1}$ berechnen.
$\begin{aligned} \vec{B_{1}} & = \vec{M_{1}} - 0,25 \cdot \vec{v_{1}} \\ \vec{B_{1}} & = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 0,5 \end{array}) - 0,25 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3,25 \\ - 3 \end{array}), \end{aligned}$
und analog
$\begin{aligned} \vec{D_{1}} & = \vec{M_{1}} + 0,25 \cdot \vec{v_{1}} \\ \vec{D_{1}} & = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 0,5 \end{array}) + 0,25 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2,75 \\ 2 \end{array}) . \end{aligned}$
Raute $A_{2} B_{2} C D_{2}$ :
Die Rechnung funktioniert analog zu der für die Raute $A_{1} B_{1} C D_{1}$ .
Für $x = 4$ ergibt sich $A_{2} (4 | 3)$ . Der Punkt $M_{2}$ liegt wieder mittig auf der Strecke zwischen dem Punkt $A_{2}$ und $C$ :
$\vec{A_{2} C} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \end{array})$
$\begin{aligned} {\vec{M}}_{2} & = \vec{A_{2}} + 0,5 \cdot \vec{A_{2} C} \\ \vec{M_{2}} & = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) + 0,5 \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) . \end{aligned}$
Ein Vektor $\vec{v_{2}}$ , der senkrecht auf $\vec{A_{2} C}$ steht und die gleiche Länge hat, ist z.B. $\vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \end{array})$ , da das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt. Somit ergibt sich für $B_{2}$ und $D_{2}$ :
$\begin{aligned} \vec{B_{2}} & = \vec{M_{2}} - 0,25 \cdot \vec{v_{2}} \\ \vec{B_{2}} & = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) - 0,25 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1,5 \end{array}), \end{aligned}$
und
$\begin{aligned} \vec{D_{2}} & = \vec{M_{2}} + 0,25 \cdot \vec{v_{2}} \\ D_{2} & = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + 0,25 (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0,5 \end{array}) . \end{aligned}$
Begründen Sie, weshalb die Winkel $B_{n} A_{n} C$ stets das gleiche Maß besitzen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rauten
Für die beiden Rauten $A_{1} B_{1} C D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C D_{2}$ sind die entsprechenden Winkel in der Abbildung rot markiert. Schaut man sich nun das Dreieck $A_{n} M_{n} D_{n}$ an, so gilt dort, dass
$\tan (∠ D_{n} A_{n} C) = \frac{D_{n} M_{n}}{A_{n} M_{n}} = \frac{1}{2},$
weil die Diagonale zwischen $A_{n}$ und $C$ doppelt so lang ist wie die Diagonale zwischen $B_{n}$ und $D_{n}$ . Der Winkel ist also unabhängig von der jeweiligen Raute.
Die Winkel $D_{n} A_{n} C$ und $B_{n} A_{n} C$ sind gleich groß.
Folglich besitzen die Winkel $B_{n} A_{n} C$ stets das gleiche Maß.
Für die Rauten $A_{3} B_{3} C D_{3}$ und $A_{4} B_{4} C D_{4}$ gilt: $A_{3} C = A_{4} C = 7 LE$ .
Berechnen Sie die zugehörigen Belegungen von $x$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel
Für die Strecke zwischen $A_{n}$ und $C$ gilt, dass
$\vec{A_{n} C} (x) = (\begin{array}{c} 2 - x \\ - 1 - 0,25 x - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - x \\ - 3 - 0,25 x \end{array}) .$
Die Länge von dieser Strecke
$| \vec{A_{n} C} | = \sqrt{(2 - x)^{2} + (- 3 - 0,25 x)^{2}}$
soll nun $7 LE$ betragen:
$\begin{aligned} \sqrt{(2 - x)^{2} + (- 3 - 0,25 x)^{2}} & = 7 | ()^{2} \\ (2 - x)^{2} + (- 3 - 0,25 x)^{2} & = 49 \\ 4 - 4 x + x^{2} + 9 + 1,5 x + 0,06 x^{2} & = 49. \end{aligned}$
Bei der Rechnung oben benutzt man im zweiten Schritt die binomischen Formeln. Nun kann man die linke Seite zusammenfassen:
$1,06 x^{2} - 2,5 x + 13 = 49$
Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also
$1,06 x^{2} - 2,5 x - 36 = 0.$
Um die Mitternachtsformel verwenden zu können muss die rechte Seite gleich Null sein, also
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \frac{2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 4 \cdot 1,06 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1,06} \\ x_{1,2} & = \frac{2,5 \pm 12,61}{2,12} \\ x_{1} & \approx 7,12 x_{2} \approx - 4,76. \end{aligned}$
Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $M_{n}$ und $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$M_{n} (0,5 x + 1 | 0,13 x + 0,5)$ und $D_{n} (0,57 x + 1,75 | - 0,12 x + 1)$ .

Teil 1: Berechnung von $M_{n}$ :
Es gilt $\vec{A_{n}} = (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x + 2 \end{array})$ und $\vec{C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) .$
Der Punkt $M_{n}$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen und auch Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten $A_{n}$ und $C$ , das heißt
$\begin{aligned} \vec{M_{n}} & = \vec{A_{n}} + 0,5 \cdot \vec{A_{n} C} \\ \vec{M_{n}} & = (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x + 2 \end{array}) + 0,5 \cdot (\begin{array}{c} 2 - x \\ - 3 - 0,25 x \end{array}) \\ \vec{M_{n}} & = (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x + 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 - 0,5 x \\ - 1,5 - 0,125 x \end{array}) \\ \vec{M_{n}} & = (\begin{array}{c} 1 + 0,5 x \\ 0,5 + 0,13 x \end{array}) \end{aligned}$
Teil 2: Berechnung von $D_{n}$ :
Um den Punkt $D_{n}$ zu berechnen, brauchen wir als Erstes einen Vektor $\vec{v}$ der senkrecht auf $\vec{A_{n} C} = (\begin{array}{c} 2 - x \\ - 3 - 0,25 x \end{array})$ steht, da sich die Diagonalen einer Raute im rechten Winkel schneiden. Da kann man zum Beispiel $\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 + 0,25 x \\ 2 - x \end{array})$ nehmen, denn das Skalarprodukt von $\vec{v}$ und $\vec{A_{n} C}$ ist null.
Zusätzlich wissen wir, dass die Diagonale $\vec{A_{n} C}$ doppelt so lang ist wie die Diagonale $\vec{B_{n} D_{n}}$ und beide Diagonalen von $M_{n}$ halbiert werden. Insbesondere gilt dann
$\vec{A_{n} C} = 2 \vec{M_{n} A_{n}} = 4 \vec{M_{n} D_{n}} .$
Den Punkt $D_{n}$ kann man nun also berechnen:
$\begin{aligned} \vec{D_{n}} & = \vec{M_{n}} + 0,25 \cdot \vec{v} \\ \vec{D_{n}} & = (\begin{array}{c} 1 + 0,5 x \\ 0,5 + 0,13 x \end{array}) + 0,25 \cdot (\begin{array}{c} 3 + 0,25 x \\ 2 - x \end{array}) \\ \vec{D_{n}} & = (\begin{array}{c} 1 + 0,5 x \\ 0,5 + 0,13 x \end{array}) + (\begin{array}{c} 0,75 + 0,0625 x \\ 0,5 - 0,25 x \end{array}) \\ \vec{D_{n}} & = (\begin{array}{c} 1,75 + 0,57 x \\ 1 - 0,12 x \end{array}) . \end{aligned}$
Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ .

Wie in der vorherigen Teilaufgabe d) ausgerechnet gilt für die Punkte $D_{n}$ , dass
$\vec{D_{n}} = (\begin{array}{c} 1,75 + 0,57 x \\ 1 - 0,12 x \end{array}) .$
Anders kann man auch schreiben
$\begin{aligned} x_{D_{n}} & = 1,75 + 0,57 x \\ y_{D_{n}} & = 1 - 0,12 x \end{aligned}$
Um nun den Trägergraphen $t$ (oder auch Ortskurve) der Punkte $D_{n}$ zu bestimmen, löst man die erste/obere der beiden Gleichungen nach $x$ auf und setzt das dann in die zweite/untere Gleichung ein.
$\begin{aligned} x_{D_{n}} & = 1,75 + 0,57 x | - 1,75 | : 0,57 \\ x & = \frac{x_{D_{n}} - 1,75}{0,57} \\ x & = 1,75 \cdot x_{D_{n}} - 3,07. \end{aligned}$
Einsetzen in $y_{D_{n}} :$ $\begin{aligned} y_{D_{n}} & = 1 - 0,12 \cdot (1,75 x_{D_{n}} - 3,07) \\ y_{D_{n}} & = 1 - 0,21 x_{D_{n}} + 0,37 \\ y_{D_{n}} & = 1,37 - 0,21 x_{D_{n}} . \end{aligned}$
Das heißt, es gilt für den Trägergraphen
$t : y = - 0,21 x + 1,37.$
Bei der Raute $A_{5} B_{5} C D_{5}$ liegt der Punkt $D_{5}$ ebenfalls auf der Geraden $g$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $A_{5}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rauten
Nach Teilaufgabe d) hat der Punkt $D_{5}$ die folgenden Koordinaten
$D_{5} = (\begin{array}{c} 1,75 + 0,57 x \\ 1 - 0,12 x \end{array}) .$
Wie in Teilaufgabe e) kann man auch schreiben
$\begin{aligned} x_{D_{5}} & = 1,75 + 0,57 x \\ y_{D_{5}} & = 1 - 0,12 x . \end{aligned}$
Der Punkt $D_{5}$ der Raute $A_{5} B_{5} C D_{5}$ soll nun auf der Geraden $g (x) = 0,25 x + 2$ liegen, das heißt
$g (x_{D_{5}}) = y_{D_{5}} .$
Einsetzen der beiden obigen Gleichungen ergibt nun
$\begin{aligned} g (1,75 + 0,57 x) & = 1 - 0,12 x \\ 0,25 \cdot (1,75 + 0,57 x) + 2 & = 1 - 0,12 x \\ 0,4375 + 0,1425 x + 2 & = 1 - 0,12 x \\ - 0,2625 x & = 1,4375 \\ x & \approx - 5,48. \end{aligned}$
Für die y-Koordinaten des Punktes $A_{5}$ setze $x = - 5,48$ in $y = 0,25 \cdot x + 2$ ein.
$y = 0,25 \cdot (- 5,48) + 2 = 0,63$
Der Punkt $A_{5}$ hat somit die Koordinaten:
$A_{5} (- 5,48 | 0,63)$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org