Nachtermin Teil A

geg.: 4 Exponentialfunktionen, Graph der gezeichneten Funktion schneidet die $y$-Achse bei $-1$.

ges.: Zuordnung $f_1(x)$ zu einem der $4$ angegebenen Graphen

Ansatz und Rechnung:

Überprüfung der 4 Exponentialfunktionen mit $x=0$ :

1. $y={10}^0+2$ $\Rightarrow$ $y=1+2=3$

2. $y={10}^0-2$ $\Rightarrow$ $y=1-2=-1$

3 $y={10}^{0+2}$ $\Rightarrow$ $y={10}^0\cdot {10}^2=1\cdot 100=100$

4. $y={10}^{0-2}$ $\Rightarrow$ $y={10}^0\cdot {10}^{-2}=1\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{0,01}$

$\Rightarrow$ Graph der Exponentialfunktion Nr. 2: $y={10}^x-2$ schneidet die y-Achse bei $-\mathrm{𝟏}$

$\Rightarrow$ Horizontale Asymptote ist $y=-2$

Ergo: Der gezeichnete Graph kann der Funktionsgleichung Nr. 2 zugeordnet werden:

Lösung mit Graphiktool:

Graphen gezeichnet mit https://www.mathway.com

geg.: Exponentialfunktion $f_1(x):y={10}^x-2$

ges.: Umkehrfunktion von $f_1$; Kennzeichnung der Schnittpunkte von $f_1$ mit $f_2$

Hinweis: Graph $f_2$ muss nicht eingezeichnet werden!

Ansatz und Rechnung:

NB: Ist $y=f(x)$, so schreibt man auch $x=f^{-1}(y)$.

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion $f^{-1}$ durch Spiegelung an der Diagonalen $y=x$.

$\Rightarrow$ $y=x$ schneidet $f_1$ in den mit „blauem Asterix“ markierten Punkten!

Dies sind auch die Schnittpunkte von $f_1$ und $f_2:$

Schnittpunkte von $f_1$ und $f_2$:

Berechnung der Umkehrfunktion $f_2(x)$:

1. Ersetze $x$ durch $y$:

$\Rightarrow$ $x={10}^y-2$

2. $x={10}^y-2$ |löse nach $y$ auf

$\Rightarrow x+2={10}^y$|log( )

$\Rightarrow$ $\log \text{⁡}(x+2)=y\cdot \log (10)$|löse nach $y$ auf

$\Rightarrow$ $𝐲={\displaystyle \frac{\log \text{⁡}(x+2)}{\log (10)}}={\displaystyle \frac{\log \text{⁡}(x+2)}{1}}=\log \text{⁡}(𝐱+\mathrm{𝟐})$

$\Rightarrow {𝐟}_{\mathrm{𝟐}}(𝐱)=\log (𝐱+\mathrm{𝟐})$

Graphik gezeichnet mit https://www.geogebra.org/graphing...