Teil A

Vitamin D kann im menschlichen Körper produziert werden, wenn Sonnenstrahlung unter bestimmten Bedingungen auf die Haut trifft. Im Winterhalbjahr nimmt daher die Konzentration von Vitamin D im Körper normalerweise ab.

Bei Andreas wurde Ende September eine Anfangskonzentration von $55$ Nanogramm Vitamin D pro Milliliter Blut $(55 \frac{ng}{ml})$ gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl $x$ der Wochen und der verbleibenden Konzentration $y \frac{ng}{ml}$ an Vitamin D lässt sich bei Andreas näherungsweise durch die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung

$y = 55 \cdot {0,93}^{x} (𝔾 = ℝ^{+} \times ℝ^{+})$ beschreiben.

Um wie viel Prozent reduziert sich folglich bei Andreas die Konzentration an Vitamin D in einer Woche?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Die Vitamin-D-Konzentration beträgt zu Beginn der Messung $55 \frac{ng}{ml}$ .
Nach einer Woche $(x = 1)$ beträgt sie $0,93 = 93 %$ .
Antwort: Die Konzentration hat um $7 %$ abgenommen.
Berechnen Sie mithilfe der Funktion $f_{1}$ die Konzentration an Vitamin D bei Andreas nach 21 Tagen.
Runden Sie auf 2 Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Antwort: Nach $21$ Tagen, also $x = 3$ Wochen beträgt die Konzentration bei Andreas:
$55 \cdot {0,93}^{3} \approx 44,24 \frac{ng}{ml}$
Berechnen Sie, in welcher Woche sich die Anfangskonzentration an Vitamin D bei Andreas entsprechend der Funktion $f_{1}$ halbiert.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
$\begin{array}{rcll} 0,5 \cdot 55 & = & 55 \cdot {0,93}^{x} & | : 55 \\ 0,5 & = & {0,93}^{x} \\ x & = & \log_{0,93} 0,5 \\ x & \approx & 9,55 \end{array}$
Da es keine "halben" Wochen gibt, muss man hier aufrunden.
Achtung: hier gelten die Rundungsregeln nicht, es muss nach dem jeweiligen Kontext entschieden werden!
Antwort: In der 10. Woche hat sich die Vitamin-D-Konzentration halbiert.
Bei Stephan wurde gleichzeitig mit Andreas eine Messung begonnen. Bei Stephan lässt sich der Zusammenhang zwischen der Anzahl $x$ der Wochen und der verbleibenden Konzentration $y \frac{ng}{ml}$ an Vitamin D durch die Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y = 51 \cdot {0,91}^{x} (𝔾 = ℝ_{0}^{+} \times ℝ_{0}^{+})$ beschreiben.
Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, dass die Konzentrationen an Vitamin D zu einem Zeitpunkt bei Stephan und Andreas den gleichen Wert erreichen? Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Rechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Die Vitamin-D-Konzentrationen bei Stephan und Andreas können zu keinem Zeitpunkt gleich sein. Denn die beiden Exponentialfunktionen sind streng monoton fallend.
Für $x = 0$ ist die Konzentration bei Andreas $f_{1} (0) = 55$ und bei Stephan $f_{2} (0) = 51$ . Da also die Startkonzentration bei Stephan niedriger ist als bei Andreas, und die Konzentration bei Stephan schneller fällt als bei Andreas, können beide Vitamin-D-Konzentrationen nie gleich sein.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org