Teil A

Der Punkt $A (2 | - 1)$ legt zusammen mit den Pfeilen

\vec{A B_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} - 3 \cdot \sin (φ) + 2 \\ 2 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array})

und Punkten $C_{n}$ gleichschenklige Dreiecke $A B_{n} C_{n}$ mit den Basen $[B_{n} C_{n}]$ fest

$(φ \in [0^{\circ}; 360^{\circ}])$ . Es gilt: $∠ B_{n} A C_{n} = 30^{\circ}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Koordinaten des Pfeils $\vec{A B_{1}}$ für $φ = 210^{\circ}$ und zeichnen Sie das zugehörige Dreieck $A B_{1} C_{1}$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
Um die Koordinaten des Pfeils zu berechnen setzt du einfach den Wert $210 °$ für $φ$ in die Formel ein (achte darauf, dass dein Taschenrechner richtig eingestellt ist):
$\vec{A B_{1}} (φ) = (\begin{array}{c} - 3 \cdot \sin (210 °) + 2 \\ 2 \cdot \sin (210 °) + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \cdot (- 0,5) + 2 \\ 2 \cdot (- 0,5) + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3,5 \\ 1 \end{array}) .$
Nun kannst du den Pfeil $\vec{A B_{1}}$ in das Koordinatensystem einzeichnen und seine Länge abmessen ( $3,64$ cm). Den Punkt $C_{1}$ kannst du einzeichnen, indem du dein Geodreieck am Punkt $A$ anlegst, am Pfeil $\vec{A B}$ einen $30 °$ Winkel abmisst und dann eine Strecke zeichnest, die genau so lang ist wie $\vec{A B}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
[Ergebnis: $C_{n} (- 3,60 \cdot \sin (φ) + 2,73 | 0,23 \cdot \sin (φ) + 1,73)]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
Der Punkt $C_{n}$ besitzt die selben Koordinaten wie der Pfeil $\vec{O C_{n}}$ (Ortsvektor).
Vom Ursprung $O$ aus kommst du zu $C_{n}$ , indem du erst den Punkt $A$ besuchst und dann daran den Pfeil $\vec{A C_{n}}$ hängst. Es gilt also: $\vec{O C_{n}} = \vec{O A} + \vec{A C_{n}}$ .
Die Koordinaten von $A (2 | - 1)$ kennst du bereits. Der Pfeil $\vec{A C_{n}}$ entsteht durch Drehung des Pfeils $\vec{A B_{n}}$ um $A$ mit $∠ B_{n} A C_{n} = 30^{\circ}$ .
$\begin{array}{rcl} \vec{A C_{n}} & = & (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot \vec{A B_{n}} \\ = & (\begin{array}{cc} 0,866 & - 0,5 \\ 0,5 & 0,866 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \cdot \sin (φ) + 2 \\ 2 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} - 2,60 \cdot \sin (φ) + 1,73 - \sin (φ) - 1 \\ - 1,5 \sin (φ) + 1 + 1,73 \sin (φ) + 1,73 \end{array}) \\ \vec{A C_{n}} & = & (\begin{array}{c} - 3,60 \cdot \sin (φ) + 0,73 \\ 0,23 \cdot \sin (φ) + 2,73 \end{array}) \end{array}$
Jetzt kannst du noch $\vec{O C_{n}}$ berechnen:
$\begin{array}{rcl} \vec{O C_{n}} & = & \vec{O A} + \vec{A C_{n}} \\ = & (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3,60 \cdot \sin (φ) + 0,73 \\ 0,23 \cdot \sin (φ) + 2,73 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} - 3,60 \cdot \sin (φ) + 2,73 \\ 0,23 \cdot \sin (φ) + 1,73 \end{array}) \end{array}$
Damit ist das Endergebnis $C_{n} (- 3,60 \cdot \sin (φ) + 2,73 | 0,23 \cdot \sin (φ) + 1,73)$ .
Für welches Maß von $φ$ wird die Abszisse der Punkte $C_{n}$ minimal? Kreuzen Sie an.
- 0°
- 45°
- 90°
- 180°
- 270°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
Die Abszisse von $C_{n}$ ist $x = - 3,60 \cdot \sin (φ) + 2,73$ .
Sie wird kleiner, je größer $\sin (φ)$ ist (negativer Faktor vor dem $\sin (φ)$ ).
Der größte Wert, der hier für $\sin (φ)$ möglich ist, ist $1$ (beachte auch die Angabe: $(φ \in [0^{\circ}; 360^{\circ}])$ ).
Diesen Wert erhältst du für einen Winkel von $90 °$ (das kannst du dir zum Beispiel mithilfe des Einheitskreises erklären).
Die Abszisse ist also für einen Winkel von $90 °$ minimal.
Hier kannst du dir noch die verschiedenen Dreiecke für die verschiedenen Winkel ansehen:
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Für $φ \in [0^{\circ}; 120^{\circ}]$ gibt es das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ , dessen Punkt $C_{2}$ auf der $y$ -Achse liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $B_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
Da $C_{2}$ auf der $y$ -Achse liegt, ist die Abszisse von $C_{2}$ gleich $0$ . Es muss also gelten:
$\begin{array}{rcll} - 3,60 \sin (φ) + 2,73 & = & 0 & | - 2,73 \\ - 3,60 \sin (φ) & = & - 2,73 & | : (- 3,60) \\ \sin (φ) & = & 0,76 \end{array}$
Wenn du darauf nun die Umkehrfunktion des Sinus anwendest, erhältst du $φ = 49,32 °$ .
Die Koordinaten von $B_{2}$ erhältst du, indem du dich vom Punkt $A$ aus in Richtung $\vec{A B_{2}}$ bewegst:
$\begin{array}{rcl} \vec{O B_{2}} & = & \vec{O A} + \vec{A B_{2}} \\ = & (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \cdot \sin (49,32 °) + 2 \\ 2 \cdot \sin (49,32 °) + 2 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \cdot 0,76 + 2 \\ 2 \cdot 0,76 + 2 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2,28 + 2 \\ 1,52 + 2 \end{array}) \\ \vec{O B_{2}} & = & (\begin{array}{c} 1,72 \\ 2,52 \end{array}) \end{array}$
Damit besitzt der Punkt $B_{2}$ die Koordinaten $B_{2} (1,72 | 2,52)$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org