Teil A

Gegeben ist das Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $B D$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ .

Es gilt: $A M = D M = 2 cm$ und $B D = 6 cm$ .

Punkte $E_{n}$ auf der Strecke $[B M]$ legen zusammen mit den Punkten $A, C$ und die Drachenvierecke $A E_{n} C D$ fest.

Die Winkel $C E_{n} A$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in [{53,13}^{\circ}; 180^{\circ} [.$

Die Zeichnung zeigt das Drachenviereck $A B C D$ und das Drachenviereck $A E_{1} C D$ für $φ = 100^{\circ}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Drachenviereck $A E_{2} C D$ für $φ = 70^{\circ}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. Bestätigen Sie sodann die untere Intervallgrenze für $φ$ durch Rechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
Zunächst versuchst du die Lage des Punktes $E_{2}$ so zu konstruieren, dass für $φ$ ein $70 °$ Winkel entsteht. In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel immer $180 °$ . Das Dreieck $A C E_{2}$ ist gleichschenklig, die Winkel $∠ E_{2} A C$ und $∠ A C E_{2}$ sind also gleich groß. Für die Winkelsumme erhältst du nun $180 ° = 70 ° + 2 \cdot ∠ E_{2} A C$ und damit $∠ E_{2} A C = 55 °$ . Mit diesem Winkel kannst du jetzt den Punkt $E_{2}$ , wie unten gezeigt, bestimmen.
Je weiter der Punkt $E$ nach unten wandert, desto spitzer wird der Winkel $φ$ . Am kleinsten ist $φ$ also, wenn der Punkt $B$ erreicht ist. Das Dreieck $A B M$ ist rechtwinklig, deshalb kannst du hier gut den Tangens verwenden und erhältst:
$\tan (\frac{φ}{2}) = \frac{A M}{M B} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Mit deinem Taschenrechner und der Umkehrfunktion des Tangens bekommst du als Ergebnis: $φ = 53,13$ .
Die Drachenvierecke $A E_{n} C D$ rotieren um die Gerade $B D$ . Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
$V (φ) = \frac{8}{3} \cdot π \cdot (1 + \frac{1}{\tan (0,5 \cdot φ)}) {cm}^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
Der Rotationskörper besteht aus zwei Kegeln, die dieselbe Grundfläche, aber verschiedene Höhen haben. Das Volumen des Körpers ist also die Summe der beiden Kegelvolumen.
Allgemein gilt:
$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h$
Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius $A M = 2$ . Er hat den Flächeninhalt:
$A_{Kreis} = 2^{2} \cdot π = 4 π$
Der obere Kegel hat die Höhe $M D = 2$ . Damit kannst du sein Volumen bestimmen:
$V_{oberer Kegel} = \frac{1}{3} \cdot 4 π \cdot 2 = \frac{8}{3} π$
Der untere Kegel hat die Höhe $E_{n} M$ , die Länge dieser Strecke ist von der Größe des Winkels $φ$ abhängig. In dem rechtwinkligen Dreieck $A E_{n} M$ gilt:
$\tan (\frac{φ}{2}) = \frac{A M}{E_{n} M} = \frac{2}{E_{n} M}$
Durch Umstellen der Gleichung erhältst du: $E_{n} M = \frac{2}{\tan (\frac{φ}{2})}$
Das Volumen des unteren Kegels ist also:
$V_{unterer Kegel} = \frac{1}{3} \cdot 4 π \cdot \frac{2}{\tan (\frac{φ}{2})} = \frac{8}{3} π \cdot \frac{1}{\tan (\frac{φ}{2})}$
Wenn du nun die Summe bildest und dann ausklammerst, entsteht das Volumen des Rotationskörpers: $V_{Rotationskörper} = V_{oberer Kegel} + V_{unterer Kegel}$
$V_{Rotationskörper} = \frac{8}{3} π + \frac{8}{3} π \cdot \frac{1}{\tan (\frac{φ}{2})} = \frac{8}{3} π (1 + \frac{1}{\tan (\frac{φ}{2})})$
Das Drachenviereck $A E_{3} C D$ ist ein Quadrat. Bestimmen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
In einem Quadrat hat jeder Innenwinkel den Wert $90 °$ , also gilt für das Quadrat auch $φ = 90 °$ . Das kannst du nun in die Formel aus Teilaufgabe b) einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{rcll} V_{Rotationskörper} & = & \frac{8}{3} π (1 + \frac{1}{\tan (\frac{90 °}{2})}) \\ = & \frac{8}{3} π (1 + \frac{1}{\tan (45 °)}) \\ = & \frac{16}{3} π \end{array}$
Das Volumen des Rotationskörpers des Quadrats beträgt also $\frac{16}{3} π {cm}^{3} \approx 16,76 {cm}^{3}$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org