Nachtermin Teil A

Gleichschenklige Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ haben die parallelen Seiten $[A B]$ und $[C_{n} D_{n}]$ . Die Winkel $B A D_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 53,13 °; 90 °]$

Es gilt: $A B = 6 cm; A D_{n} = 5 cm$ .

Die Zeichnung zeigt das Trapez $A B C_{1} D_{1}$ für $φ = 65 °$ .

Zeichnen Sie das Trapez $A B C_{2} D_{2}$ für $φ = 85 °$ in die Zeichnung zu 3.0 ein.

In der folgenden Schritt für Schritt Anleitung siehst du wie du das Trapez mit $φ = 85 °$ zeichnen kannst.
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Begründen Sie rechnerisch die untere Intervallgrenze für $φ$ .

Verringert man den Winkel $φ$ , so verringert sich die Seitenlänge $C_{n} D_{n}$ immer mehr. So verändert sich das gleischschenklige Trapez "irgendwann" zu einem gleichschenkligen Dreieck. Also ist die Untergrenze von $φ$ der Winkel, bei dem das Trapez zu einem Dreieck wird.
Um herauszufinden, für welchen Winkel $φ$ aus dem Trapez ein Dreieck wird, hilft dir folgendes Bild:
Die Höhe $h$ des Dreiecks halbiert die Seite $[A B]$ , daher ist $A E = E B = 3 cm$ .
Mithilfe des Kosinus kannst du nun den gesuchten Winkel $φ$ bestimmen:
$\begin{array}{rcl} \cos (φ) = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{A E}{D_{n} A} \end{array}$ $=$ $\frac{3}{5}$
$φ$ $\approx$ $53,13 °$
Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrisches Trapez
Die Länge $A B$ ist schon gegeben. Die Längen $h$ und $D_{n} C_{n}$ müssen noch berechnet werden.
Zeichne dir hierfür am besten die Höhe $h$ ein. Da sich je nach Winkel $φ$ die Höhe so wie $C_{n}$ und $D_{n}$ verändern, kannst du sie auch $h_{n}$ nennen.
Höhe $h_{n}$ berechnen
Das Dreieck $A E_{n} D_{n}$ ist rechtwinklig. Du hast die Seite $A D_{n}$ gegeben. Daher kannst du mit dem Sinus $h_{n}$ bestimmen.
$\begin{array}{rcl} \sin φ & = & \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} \\ = & \frac{h_{n}}{A D_{n}} \end{array}$
Auflösen nach $h_{n}$ und einsetzen von $A D_{n} = 5 cm$ ergibt:
$\begin{array}{rcl} h_{n} & = & \sin (φ) \cdot A D_{n} \\ = & 5 cm \cdot \sin φ \end{array}$
$D_{n} C_{n}$ berechnen
Um nun noch die Länge $D_{n} C_{n}$ zu bestimmen, kannst du erstmal $A E_{n}$ berechnen. Da $A D_{n}$ gegeben ist, kannst du $A E_{n}$ mithilfe des Kosinus bestimmen.
Mit dem Kosinus bekommst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{rcl} \cos φ & = & \frac{Ankathete}{Hypotenuse} \\ = & \frac{A E_{n}}{A D_{n}} \end{array}$
Auflösen nach $A E_{n}$ und einsetzen von $A D_{n} = 5 cm$ ergibt:
$\begin{array}{rcl} A E_{n} & = & A D_{n} \cdot \cos φ \\ = & 5 cm \cdot \cos φ \end{array}$
Mit der Länge $A E_{n}$ kannst du endlich die fehlende Länge $D_{n} C_{n}$ berechnen. Sie ergibt sich (wie du aus dem Bild erkennen kannst) aus der Gleichung:
$\begin{array}{rcl} A B = A E_{n} + D_{n} C_{n} + A E_{n} = D_{n} C_{n} + 2 \cdot A E_{n} \end{array}$
Nun musst du noch nach $D_{n} C_{n}$ auflösen:
$\begin{array}{rcl} A B & = & D_{n} C_{n} + 2 \cdot A E_{n} \\ A B - 2 \cdot A E_{n} & = & D_{n} C_{n} \end{array}$
Jetzt alles einsetzen:
$\begin{array}{rcl} D_{n} C_{n} & = & 6 cm - 2 \cdot 5 cm \cdot \cos φ \\ = & 6 cm - 10 cm \cdot \cos φ \end{array}$
Flächeninhalt bestimmen
Jetzt hast du alle Längen, um den Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen.
$\begin{array}{rcl} A_{A B C_{n} D_{n}} & = & \frac{A B + D_{n} C_{n}}{2} \cdot h \\ = & \frac{6 cm + 6 cm - 10 cm \cdot \cos φ}{2} \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & \frac{12 cm - 10 cm \cdot \cos φ}{2} \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & \frac{2 \cdot (6 cm - 5 cm \cdot \cos φ)}{2} \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & (6 cm - 5 cm \cdot \cos φ) \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & 30 {cm}^{2} \cdot \sin φ - 25 {cm}^{2} \cdot \cos φ \cdot \sin φ \\ = & (30 \cdot \sin φ - 25 \cdot \cos φ \cdot \sin φ) {cm}^{2} \end{array}$
Den Flächeninhalt des gleischenkligen Trapez bestimmst du über die Formel:
$A_{A B C_{n} D_{n}} = \frac{A B + D_{n} C_{n}}{2} \cdot h$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$\begin{array}{rcl} \cos (φ) = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{A E}{D_{n} A} \end{array}$	$=$	$\frac{3}{5}$
$φ$	$\approx$	$53,13 °$