Nachtermin Teil B

Gegeben sind die Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0,25 x + 6$ und $h$ mit der Gleichung $y = x - 1$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Punkte $D_{n} (x | x - 1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf der Geraden $h$ . Punkte $A_{n}$ auf der Geraden $g$ haben eine um $2$ kleinere Abszisse als die Punkte $D_{n}$ .

Die Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ bilden zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$ .

Es gilt: $∢ B_{n} A_{n} D_{n} = 90^{\circ}; A_{n} C_{n} = 1,5 \cdot B_{n} D_{n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $- 6 \leq x \leq 8; - 5 \leq y \leq 8$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Zeichne zunächst ein Koordinatensystem mit $- 6 \leq x \leq 8$ und $- 5 \leq x \leq 8$ .
Bestimme für die beiden Geraden $g$ und $h$ jeweils $2$ Punkte, die auf diesen Geraden liegen, z.B. $P_{1} (0 | 6)$ und $P_{2} (1 | 6,25)$ für die Gerade $g$ , sowie $Q_{1} (0 | - 1)$ und $Q_{2} (1 | 0)$ für die Gerade $h$ .
Die Gerade $g$ erhältst Du, indem Du eine Gerade durch die beiden Punkte $P_{1} (0 | 6)$ und $P_{2} (1 | 6,25)$ zeichnest.
Die Gerade $h$ erhältst Du, indem Du eine Gerade durch die beiden Punkte
$Q_{1} (0 | - 1)$ und $Q_{2} (1 | 0)$ zeichnest.
Berechne nun die Koordinaten der Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ .
Für $x = 2 \Rightarrow D_{1} (2 | 1)$ . $A_{1}$ liegt auf $g$ und hat eine um $2$ kleinere Abszisse wie $D_{1}$ $\Rightarrow A_{1} (0 | 6) .$
Verbinde $A_{1}$ und $D_{1}$ und trage in $A_{1}$ einen $90 °$ Winkel an. Du erhältst den Punkt $B_{1}$ indem Du auf dem freien Schenkel des Winkels die Länge $A_{1} D_{1}$ anträgst.
Verbinde nun $A_{1}$ mit dem Mittelpunkt der Strecke $B_{1} D_{1}$ durch eine Gerade. Markiere auf dieser Geraden den Punkt, der von $A_{1}$ den Abstand $1,5 \cdot B_{1} D_{1}$ hat. Dieser Punkt ist der gesuchte Punkt $C_{1}$ .
Verbinde die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ zu dem 1. Drachenviereck. Ermittle die Punkte $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ für das 2. Drachenviereck analog.
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $A_{n}$ und $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $D_{n}$ .
[Ergebnisse: $A_{n}$ $(x - 2 | 0,25 x + 5,5)$ ; $B_{n}$ $(1,75 x - 8,5 | 0,25 x + 3,5)$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Die $x$ -Koordinate der Punkte $A_{n}$ ergibt sich, indem Du $x$ durch $(x - 2)$ ersetzt. Die zugehörige $y$ -Koordinate ermittelst Du, indem Du $(x - 2)$ an Stelle von $x$ in die Gleichung für $g$ einsetzt.
$A_{n} (x - 2 | 0,25 (x - 2) + 6)$ $= A_{n} (x - 2 | 0,25 x + 5,5)$
Den Punkt $B_{n}$ erhältst Du, indem Du an den Punkt $A_{n}$ den Vektor $\vec{A_{n} B_{n}}$ anlegst.
$\vec{O B_{n}} = \vec{O A_{n}} + \vec{A_{n} B_{n}}$
$\vec{A_{n} D_{n}} (x) = (\begin{array}{c} x - (x - 2) \\ x - 1 - (0,25 x + 5,5) \end{array})$ $x \in ℝ$
$\vec{A_{n} D_{n}} (x) =$ $(\begin{array}{cc} 2 \\ 0,75 x - 6,5 \end{array})$
$\vec{A_{n} D_{n}}$ $\to \vec{A_{n} B_{n}}$ $(O; φ = 90 °)$
$\vec{A_{n} B_{n}} (x) = (\begin{array}{cc} 0,75 x - 6,5 \\ - 2 \end{array})$
$\vec{O B_{n}} (x) = (\begin{array}{c} x - 2 \\ 0,25 x + 5,5 \end{array})$ $+$ $(\begin{array}{cc} 0,75 x - 6,5 \\ - 2 \end{array})$ $x \in ℝ$
$\vec{O B_{n}} (x) = (\begin{array}{c} 1,75 x - 8,5 \\ 0,25 x + 3,5 \end{array})$
$B_{n} (1,75 x - 8,5 | 0,25 x + 3,5)$
Die Diagonale [ $B_{3} D_{3}$ ] des Drachenvierecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt parallel zur Geraden $g$ . Berechnen Sie die Abszisse $x$ des Punktes $D_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
$\vec{B_{n} D_{n}} (x) = (\begin{array}{cc} x - (1,75 x - 8,5)) \\ x - 1 - (0,25 x + 3,5)) \end{array})$ $= (\begin{array}{cc} - 0,75 x + 8,5 \\ 0,75 x - 4,5 \end{array})$
Da die Diagonale des Drachenvierecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ parallel zur Geraden $g$ ist,
haben die Diagonale und die Gerade $g$ dieselbe Steigung.
$m_{B_{3} D_{3}} = m_{g}$

$\frac{0,75 x - 4,5}{- 0,75 x + 8,5} = 0,25$
$0,75 x - 4,5 = 0,25 \dot{(} - 0,75 x + 8,5)$
$3 x - 18 = - 0,75 x + 8,5$
$3,75 x = 26,5$
$x = 7,07$
Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
$A (x) =$ $(0,84 x^{2} - 14,63 x + 69,38) FE$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Für diese Teilaufgabe benötigst Du die Formel, wie man den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnet.
$A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} = 0,5 \cdot A_{n} C_{n} \cdot B_{n} D_{n}$
Laut Angabe gilt: $A_{n} C_{n} = 1,5 \cdot B_{n} D_{n}$
$\Rightarrow A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} = 0,5 \cdot 1,5 \cdot (B_{n} D_{n})^{2}$
Für die Berechnung von $B_{n} D_{n} (x)$ benutze den Satz des Pythagoras.
$B_{n} D_{n} (x) = \sqrt{(- 0,75 x + 8,5)^{2} + (0,75 x - 4,5)^{2}} LE$
$A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,5 \cdot 1,5 (\sqrt{(- 0,75 x + 8,5)^{2} + (0,75 x - 4,5)^{2}})^{2} FE$
$A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,5 \cdot 1,5 \cdot [(- 0,75 x + 8,5)^{2} + (0,75 x - 4,5)^{2}] FE$
$A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,75 \cdot [(0,5625 x^{2} - 12,75 x + 72,25) + (0,5625 x^{2} - 6,75 x + 20,25)] FE$
$A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 0,75 \cdot (1,125 x^{2} - 19,5 x + 92,5) FE$
$A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = (0,84 x^{2} - 14,63 x + 69,38) FE$
Im Drachenviereck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ haben die Punkte $A_{4}$ und $C_{4}$ dieselbe Abszisse. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Im Drachenviereck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ gilt: $y_{B_{4}} = y_{D_{4}}$ .
$0,25 x + 3,5 = x - 1$
$4,5 = 0,75 x$
$x = 6$
$A_{A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}} (6) = 0,84 \cdot (6)^{2} - 14,63 \cdot 6 + 69,38$
$A_{A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}} = 30,24 - 87,78 + 69,38 = 11,84 FE$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org