Nachtermin Teil A

Das bei $A$ rechtwinklige Dreieck $A B C$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C S$ mit der Spitze $S$ . Der Punkt $F \in [A C]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[F S]$ , die senkrecht auf der Grundfläche $A B C$ steht.

Es gilt: $A C = 9 cm; B C = 11 cm; A F = 2 cm; F S = 7 cm;$

Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C S$ . In der Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ} .$ $[A C]$ liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie das Maß des Winkels $C A S$ .
[Ergebnis: $∢ C A S = {74,05}^{\circ}$ ]

$\tan (∡ C A S) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{F S}{A F}$
$\tan (∡ C A S) = \frac{7 cm}{2 cm} = 3,5 | \tan^{- 1}$
$∡ C A S \approx {74,05}^{\circ}$
Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[A S]$ . Die Winkel $P_{n} C A$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}; 45^{\circ}]$ . Das Dreieck $A B C$ ist die Grundfläche der Pyramiden $A B C P_{n}$ mit den Spitzen $P_{n}$ und den Höhen $[P_{n} T_{n}]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $A B C P_{1}$ sowie deren Höhe $[P_{1} T_{1}]$ für $φ = 20^{\circ}$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

Zeichnung der Pyramide $A B C P_{1}$ :
Dabei ist zu wissen, dass
$∡ P_{1} C A = φ = 20^{\circ}$ ist.
Wir zeichnen also einen 20°-Winkel bei C (rot). Dort, wo die Gerade (rot) die Seite [AS] schneidet, befindet sich der Punkt $P_{1}$ .
Nun verbinden wir die Eckpunkte der Pyramide miteinander (siehe nächste Abbildung).
Da der Winkel $C F S = 90^{\circ}$ ist, steht die dreieckige Seitenfläche $A C S$ (hellblau) senkrecht auf der dreieckigen Seitenfläche $A B C$ (dunkelblau), daher muss der Fußpunkt $T$ auf der Seite [AC] liegen.
Wir zeichnen eine Senkrechte (rot) durch den Punkt $P_{1}$ auf [AC]. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Seite [AC] ist der Fußpunkt $T_{1}$ .
Nun verbinden wir noch alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.
Begründen Sie die obere Intervallgrenze für $φ$ .

Da $P_{n}$ auf der Seite [AS] liegt, kann der Winkel höchstens dem Winkel $S C A$ entsprechen.
Maß des Winkels $S C A$ im rechtwinkligen Dreieck $C S F$ (blau) mithilfe der Trigonometrie:
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{F S}{F C}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{F S}{A C - A F}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{7 c m}{9 c m - 2 c m}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $1$ $\tan^{- 1}$
$(∡ S C A)$ $=$ $45 °$
Das maximale Maß des Winkels $P_{n} C A = φ \leq 45^{\circ}$ .

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[C P_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:

$C P_{n} (φ) = \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)} cm$ .

Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
Die dreieckige Grundfläche ( $G = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C$ )
$A B$ im rechteckigen Dreieck $A B C$ über den Pythagoras:
$A B = \sqrt{{B C}^{2} - {A C}^{2}} cm = \sqrt{11^{2} - 9^{2}} cm = \sqrt{121 - 81} cm = \sqrt{40} cm$ ( $\approx 6,32 cm$ )
$A C = 9 cm$
$G = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{40} \cdot 9) {cm}^{2} = 9 \sqrt{10} {cm}^{2}$
Die Höhe $h = P_{n} T_{n}$
$P_{n} T_{n}$ im rechtwinkligen Dreieck $C P_{n} T_{n}$ mithilfe der Trigonometrie:
$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$ $=$ $\frac{P_{n} T_{n}}{C P_{n}}$ $\cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$ $=$ $\sin (∡ P_{n} C T_{n}) \cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$ $=$ $(\sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) cm$
Zurück zur allgemeinen Formel - wir setzen die Ergebnisse ein:
$V_{Pyramide} (φ)$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$=$ $(\frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{10} \cdot \sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$
$=$ $(\frac{82,06 \cdot \sin φ}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$
SatzErgebnis
Rechnen wir bei der Grundfläche mit dem Wert $A B = 6,32 cm$ weiter (und nicht mit $\sqrt{40}$ ), beträgt das Volumen $V (φ) = (\frac{82,00 \cdot \sin φ}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$ .
Das Volumen der Pyramide $A B C P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ :
Allgemein: $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Hinweis für die Gleichung (vorletzte Zeile): Wegen der Symmetrie der Sinusfunktion zu $90^{\circ}$ ist $\sin (180^{\circ} - α) = \sin (α) .$ Wir können folglich die $180^{\circ}$ und das Minus wegfallen lassen!
	↓
$\frac{C P_{n}}{\sin (∡ C A S)}$	$=$	$\frac{A C}{\sin (∡ A P_{n} C)}$
$\frac{C P_{n}}{\sin ({74,05}^{\circ})}$	$=$	$\frac{9 cm}{\sin (180^{\circ} - (φ + {74,05}^{\circ}))}$	$\cdot \sin ({74,05}^{\circ})$
$C P_{n}$	$=$	$\frac{9 cm \cdot \sin ({74,05}^{\circ})}{\sin (180 ° - (φ + 74,05 °))}$
$C P_{n}$	$\approx$	$\frac{8,65 cm}{\sin (180^{\circ} - (φ + {74,05}^{\circ}))}$
$C P_{n}$	$\approx$	$\frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)} cm$

$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{F S}{F C}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{F S}{A C - A F}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{7 c m}{9 c m - 2 c m}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$1$	$\tan^{- 1}$
$(∡ S C A)$	$=$	$45 °$

$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$	$=$	$\frac{P_{n} T_{n}}{C P_{n}}$	$\cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$	$=$	$\sin (∡ P_{n} C T_{n}) \cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$	$=$	$(\sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) cm$

$V_{Pyramide} (φ)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{10} \cdot \sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$
	$=$	$(\frac{82,06 \cdot \sin φ}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$