Teil B

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (5 | - 4,5)$ hat eine Gleichung der Form $y = 0,1 x^{2} + b x + c$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ; b, c \in ℝ)$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = - 0,5 x + 1 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:
$y = 0,1 x^{2} - x - 2$ .
Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x \in [- 4; 9]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm; - 4 ≦ x ≦ 9; - 6 ≦ y ≦ 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion, quadratische Funktionen, Vektoren,
Teilaufgabe a
Stelle mithilfe des Scheitelpunktes $S (5 | - 4,5)$ die Scheitelpunktform auf.
Normalform der Gleichung: $y = a x^{2} + b x + c$ . In diesem Fall: $a = 0,1$
Scheitelpunktform allgemein: $y = a (x - d) + e$
In diesem Fall: $d = 5$ und $e = - 4,5$
Daraus ergibt sich folgende Scheitelpunktform:
$y$ $=$ $0,1 {(x - 5)}^{2} - 4,5$
↓
Binomische Formel.
$=$ $0,1 (x^{2} - 10 x + 25) - 4,5$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $0,1 x^{2} - x + 2,5 - 4,5$
↓
Zusammenfassen.
$=$ $0,1 x^{2} - x - 2$
Stelle für das Zeichnen der Parabel eine Wertetabelle auf.
x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
y
3,6
0,4
-2
-3,6
-4,4
-4,4
-3,6
-2
0,4
Trage die Wertepaare (Punkte) in das Koordinatensystem und verbinde sie.
Parabel im Koordinatensystem
Für das Einzeichnen der Gerade $y = - 0,5 x + 1$ benötigst du ein Steigungsdreieck.
allgemeine Form: $y = m \cdot x + b$
Der y-Achsenabschnitt $b = + 1$ , Schnittpunkt $A (0 | 1)$
Steigung $m = - 0,5 = \frac{- 1}{2}$ (Das bedeutet, wir gehen $2$ nach rechts und $1$ nach unten.)
Punkte $A_{n} (x | - 0,5 x + 1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte
$B_{n} (x | 0,1 x² - x - 2)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit Punkten $C_{n}$ und $D_{n}$ Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Es gilt: $[A_{n} B_{n}] | | [C_{n} D_{n}]; \vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}); C_{n} D_{n} = 5 LE$ .
Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu a) ein.

Teilaufgabe b
Wir zeichnen als Erstes das Trapez $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Dafür benötigen wir die Koordinaten der Eckpunkte.
Der Punkt $A_{n} (x | - 0,5 x + 1)$ für $x = - 1$ :
$y (- 1)$ $=$ $- 0,5 \cdot (- 1) + 1$
$=$ $0,5 + 1$
$=$ $1,5$
$A_{1} (- 1 | 1,5)$
Bei $B_{n} (x | 0,1 x^{2} - x - 2)$ für $x = - 1$ :
$y (- 1)$ $=$ $0,1 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$
$=$ $0,1 \cdot 1 + 1 - 2$
$=$ $0,1 + 1 - 2$
$=$ $- 0,9$
$B_{1} (- 1 | - 0,9)$
Wir zeichnen nun die Punkte $A_{1} (- 1 | 1,5)$ und $B_{1} (- 1 | - 0,9)$ in das Koordinatensystem ein.
Den Punkt $D_{1}$ finden wir mithilfe des Vektors $\vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$ .
Parabel schneidet Gerade
Da wir wissen, dass die Strecke $[C D] 5 LE$ hat und parallel zu $[A B]$ ist, können wir diese nun mithilfe eines Geodreiecks einzeichnen.
Parabel schneidet Gerade
Das gleiche Vorgehen ist für das zweite Trapez $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit $x = 4$ notwendig.
Der Punkt $A_{n} (x | - 0,5 x + 1)$ für $x = 4$ : $A_{2} (4 | - 1)$
Der Punkt $B_{n} (x | 0,1 x^{2} - x - 2)$ für $x = 4$ :
$y (4)$ $=$ $0,1 \cdot {(4)}^{2} - 4 - 2$
$=$ $0,1 \cdot 16 - 4 - 2$
$=$ $1,6 - 4 - 2$
$=$ $- 4,4$
$B_{2} (4 | - 4,4)$
Zeichne die Punkte $A$ und $B$ ein. Finde mithilfe des Vektors Punkt $D$ . Zeichne erneut eine parallele Seite zu $[A B]$ mit Anfangspunkt $D$ mit der Länge von $5 LE$ .
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt.

Teilaufgabe c
Wir suchen die Schnittpunkte der Geraden $y = - 0,5 x + 1$ und der Parabel $y = 0,1 x^{2} - x - 2$ . Da es nur Trapeze geben kann, wenn $A$ und $B$ jeweils zwischen den Schnittpunkten liegen.
Du kannst die Schnittpunkte finden, indem du die Gleichungen gleichsetzt:
$- 0,5 x + 1$ $=$ $0,1 x^{2} - x - 2$ $+ 0,5 x - 1$
$0$ $=$ $0,1 x^{2} - 0,5 x - 3$
Die folgende Gleichung kann man nun mithilfe der abc-Formel (Mitternachtsformel) lösen.
abc-Formel: $a = 0,1$ $b = - 0,5$ $c = - 3$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$=$ $\frac{- (- 0,5) \pm \sqrt{(- 0,5)^{2} - 4 \cdot 0,1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 0,1}$
$=$ $\frac{0,5 \pm \sqrt{1,45}}{0,2}$
$x_{1}$ $=$ $8,52$
$x_{2}$ $=$ $- 3,52$
Für $x \in] - 3,52; 8,52 [$ gibt es beliebig viele Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} .$

x	-4	-2	0	2	4	6	8	10	12
y	3,6	0,4	-2	-3,6	-4,4	-4,4	-3,6	-2	0,4

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt $A_{m a x}$ der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ und geben Sie den zugehörigen Wert für $x$ an.

$[Zwischenergebnis: A_{n} B_{n} (x) = (- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3) LE]$

Der Punkt $D_{3}$ des Trapezes $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der y-Achse.
Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $B_{3}$ .

Teilaufgabe e
Wenn $D_{3}$ auf der y-Achse liegt, hat die x-Koordinate von $D_{3}$ den Wert $0$ .
Aufgrund des Gegenvektors hat $A_{3}$ und $B_{3}$ den x-Wert $- 2$ .
Gesucht ist der Punkt $B_{3}$ :
$B_{n} (x | 0,1 x^{2} - x - 2) mit x = - 2$
$y (- 2)$ $=$ $0,1 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$
↓
Ausmultiplizieren.
$=$ $0,4 - (- 2) - 2$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $0,4 + 2 - 2$
$=$ $0,4$
Der Punkt $B_{3}$ hat die y-Koordinate $0,4$ und $B_{3} (- 2 | 0,4)$ .
Trapez im Koordinatensystem
Die kongruenten Trapeze $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ und $A_{5} B_{5} C_{5} D_{5}$ sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken $[A_{4} B_{4}]$ und $[A_{5} B_{5}]$ jeweils $3 LE$ lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß $γ$ der Winkel $D_{4} C_{4} B_{4}$ bzw. $D_{5} C_{5} B_{5}$ .

Teilaufgabe f
Gegeben: $C_{n} D_{n} = 5 LE$ und $\vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$
$A_{4} B_{4}$ $=$ $(C_{n} D_{n} - D_{n} F_{n} - E_{n} C_{n}) LE$
$=$ $5 LE - 1 LE - 1 LE$
$=$ $3 LE$
$=$ $A_{5} B_{5}$
$A_{4} B_{4} = A_{5} B_{5} = 3 LE$
Maß der Winkel $D_{4} C_{4} B_{4}$ bzw. $D_{5} C_{5} B_{5}$ :
Der Winkel $γ$ liegt in dem rechtwinkligen Dreieck $E B C$ mit $E C = 1 LE$ und $B E = 2 LE$ .
Tangens: $\tan (γ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{B E}{E C} = \frac{2}{1} = 2$
$γ = \tan^{- 1} (2) = 63,43 °$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$A_{n} B_{n}$	$=$	$(- 0,5 x + 1 - (0,1 x^{2} - x - 2)) LE$
	$=$	$(- 0,5 x + 1 - 0,1 x^{2} + x + 2) LE$
	$=$	$(- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3) LE$

$A_{T r a p e z}$	$=$	$\frac{(a + c)}{2} \cdot h$
	$=$	$(\frac{((- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3) + 5)}{2} \cdot 2) FE$
	$=$	$(- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3 + 5) FE$
	$=$	$(- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 8) FE$

$y$	$=$	$0,1 {(x - 5)}^{2} - 4,5$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$0,1 (x^{2} - 10 x + 25) - 4,5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$0,1 x^{2} - x + 2,5 - 4,5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$0,1 x^{2} - x - 2$

$y (- 1)$	$=$	$0,1 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$
	$=$	$0,1 \cdot 1 + 1 - 2$
	$=$	$0,1 + 1 - 2$
	$=$	$- 0,9$

$y (4)$	$=$	$0,1 \cdot {(4)}^{2} - 4 - 2$
	$=$	$0,1 \cdot 16 - 4 - 2$
	$=$	$1,6 - 4 - 2$
	$=$	$- 4,4$

$- 0,5 x + 1$	$=$	$0,1 x^{2} - x - 2$	$+ 0,5 x - 1$
$0$	$=$	$0,1 x^{2} - 0,5 x - 3$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	$=$	$\frac{- (- 0,5) \pm \sqrt{(- 0,5)^{2} - 4 \cdot 0,1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 0,1}$
	$=$	$\frac{0,5 \pm \sqrt{1,45}}{0,2}$
$x_{1}$	$=$	$8,52$
$x_{2}$	$=$	$- 3,52$

$y$	$=$	$- 0,1 x^{2} + 0,5 + 8$
	↓	Ausklammern.
	$=$	$- 0,1 (x^{2} - 5 - 80)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- 0,1 (x^{2} - 5 + {2,5}^{2} - {2,5}^{2} - 80)$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$- 0,1 [{(x - 2,5)}^{2} - {2,5}^{2} - 80]$
	$=$	$- 0,1 [(x - 2,5)^{2} - 86,25]$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$- 0,1 {(x - 2,5)}^{2} + 8,63$

$y (- 2)$	$=$	$0,1 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$0,4 - (- 2) - 2$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$0,4 + 2 - 2$
	$=$	$0,4$

$A_{4} B_{4}$	$=$	$(C_{n} D_{n} - D_{n} F_{n} - E_{n} C_{n}) LE$
	$=$	$5 LE - 1 LE - 1 LE$
	$=$	$3 LE$
	$=$	$A_{5} B_{5}$

Teil B

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f