Teil A

Aufgabe A4

Der Punkt $P (- 3 | 1)$ legt zusammen mit Punkten $Q_{n}$ für $φ \in [0^{\circ}; 180^{\circ}]$ Pfeile

$\vec{P Q_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 2,5 + \sin φ \\ 3 \end{array})$ fest.

Zeichnen Sie den Pfeil $\vec{P Q_{1}}$ für $φ = 0^{\circ}$ in das Koordinatensystem ein. (1 P)
Wir berechnen zunächst den Vektor $\vec{P Q_{1}}$
Dafür setzen wir $φ = 0^{\circ}$ in $\vec{P Q_{n}}$ ein:
$\vec{P Q_{1}} (0) = (\begin{array}{c} 2,5 + \sin (0) \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 3 \end{array})$
Nun berechnen wir die Koordinaten des Punktes $Q_{1}$
Der Vektor $\vec{P Q_{1}}$ ergibt sich aus den Koordinaten des Fußpunktes $P (- 3 | 1)$ und den Koordinaten der Spitze $Q_{1} (q_{x_{1}} | q_{y_{1}})$ .
Nach dem Prinzip "Spitze minus Fuß" gilt:
$(\begin{array}{c} 2,5 \\ 3 \end{array}) = \underset{Spitze - Fuß}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} q_{1 x} - (- 3) \\ q_{1 y} - 1 \end{array})}}$
Wenn man den Vektor zeilenweise ließt, ergeben sich folgende Terme:
$\begin{array}{l} (1) 2,5 = q_{1 x} - (- 3) ⟹ q_{1 x} = 2,5 - 3 = - 0,5 \\ (2) 3 = q_{1 y} - 1 ⟹ q_{1 y} = 3 + 1 = 4 \\ ⟹ Q_{1} (- 0,5 | 4) \end{array}$
Nun kennen wir beide Punkte und müssen diese nur noch in das Koordinatensystem einzeichnen.
Darstellung im Koordinatensystem
Setze $φ = 0^{\circ}$ in den Pfeil ein. So erhältst du $\vec{P Q_{1}}$ .
Berechne nun die Koordinaten des Punktes $Q_{1}$ , indem du dir überlegst, wie sich der Vektor $\vec{P Q_{1}}$ zusammensetzt. (Tipp: Nutze die Regel "Spitze minus Fuß").
Übertrage die Koordinaten in dein Koordinatensystem.
Für den Pfeil $\vec{P Q_{2}}$ gilt: $\vec{P Q_{2}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$ .
Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von $φ$ . (2 P)

Wir setzen $\vec{P Q_{2}}$ mit unserem Pfeil gleich:
$(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{c} 2,5 + \sin φ \\ 3 \end{array})$
Für die Berechnung von $φ$ ist nur die erste Zeile relevant.
Wir lösen die erste Zeile nach $φ$ auf:
$3$ $=$ $2,5 + \sin φ$ $- 2,5$
$0,5$ $=$ $\sin φ$ $\sin^{- 1} ()$
$φ$ $=$ $30 ° oder 150 °$
$𝕃 = {30 °; 150 °}$

Berechne den Winkel $(φ)$ aus der x-Koordinate von Vektor $\vec{P Q_{n}} (φ)$ mit y-Koordinate von $\vec{P Q_{2}}$ .