Nachtermin Teil A

Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ mit dem Punkt $F \in [A E]$ . Es gilt: $D E = 4 cm; B F = 8 cm; ∡ A E D = ∡ A F B = 90 °; [C F] | | [D E]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Der Kegel, der durch Rotation des Dreiecks $A D E$ um die Achse $A E$ entsteht, hat ein Volumen von $134 {cm}^{3}$ . Berechnen Sie die Höhe dieses Kegels.
$[$ Ergebnis: $A E = 8,00 cm$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegelvolumen, Strahlensatz
Teilaufgabe a
Höhe des Kegels mit Rotationskörper Dreieck $A D E$ um $[A E]$ :
$V_{K e g e l}$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$
↓
Bekannte Größen einsetzen.
$134 {cm}^{3}$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot π \cdot (4 cm)^{2} \cdot h$ $\cdot 3 | : (4 cm)^{2} | : π$
↓
Nach der Unbekannten auflösen.
$h$ $=$ $\frac{134 {cm}^{3} \cdot 3}{π \cdot (4 cm)^{2}}$
↓
Zusammenfassen.
$\approx$ $8,00 cm$
Die Strecke $[A F]$ ist um $25 %$ kürzer als die Strecke $[A E]$ .
Berechnen Sie das Volumen $V$ des Rotationskörpers, der durch Rotation des Fünfecks $A B C D E$ um die Achse $A E$ entsteht.
$[$ Zwischenergebnis: $C F = 3,00 cm$ $]$

Teilaufgabe b
Länge der Strecke [AF]:
$A F = A E \cdot \frac{75}{100} = 8,00 cm \cdot \frac{75}{100} = 6,00 cm$
Volumen des Rotationskörpers:
$C F$ mithilfe des Strahlensatzes:
$\frac{C F}{D E}$ $=$ $\frac{A F}{A E}$ $\cdot D E$
$C F$ $=$ $\frac{A F \cdot D E}{A E}$
$=$ $\frac{6 cm \cdot 4 cm}{8 cm}$
$=$ $3,00 cm$
$V_{A B C D E}$ $=$ $V_{A D E} + V_{A B F} - V_{A C F}$
$=$ $(134 + \frac{1}{3} \cdot π \cdot 8^{2} \cdot 6 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 6) {cm}^{3}$
$=$ $(134 + 402,12 - 56,55) {cm}^{3}$
$\approx$ $479,57 {cm}^{3}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$V_{K e g e l}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$
	↓	Bekannte Größen einsetzen.
$134 {cm}^{3}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π \cdot (4 cm)^{2} \cdot h$	$\cdot 3 \| : (4 cm)^{2} \| : π$
	↓	Nach der Unbekannten auflösen.
$h$	$=$	$\frac{134 {cm}^{3} \cdot 3}{π \cdot (4 cm)^{2}}$
	↓	Zusammenfassen.
	$\approx$	$8,00 cm$

$\frac{C F}{D E}$	$=$	$\frac{A F}{A E}$	$\cdot D E$
$C F$	$=$	$\frac{A F \cdot D E}{A E}$
	$=$	$\frac{6 cm \cdot 4 cm}{8 cm}$
	$=$	$3,00 cm$

$V_{A B C D E}$	$=$	$V_{A D E} + V_{A B F} - V_{A C F}$
	$=$	$(134 + \frac{1}{3} \cdot π \cdot 8^{2} \cdot 6 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 6) {cm}^{3}$
	$=$	$(134 + 402,12 - 56,55) {cm}^{3}$
	$\approx$	$479,57 {cm}^{3}$

Nachtermin Teil A

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b