Teil A

Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt jeweils näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form

y = (y_{A} - y_{U}) \cdot {0,9}^{x} + y_{U} (𝔾 = ℝ^{+} \times ℝ^{+}, y_{A} \in ℝ^{+}, y_{U} \in ℝ^{+})

beschreiben. Dabei ist nach $x$ Minuten die Temperatur des Wassers auf $y ° C$ gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt $y_{A} ° C$ und die Umgebungstemperatur $y_{U} ° C$ . Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Im ersten Versuch kühlt $95 ° C$ heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von $20 ° C$ ab. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf $60 ° C$ gesunken ist.
Minuten

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsaufgaben
Die Temperatur soll nach $x$ Minuten $60 ° C$ erreichen.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}{rcl} 60 & = & (95 - 20) \cdot {0,9}^{x} + 20 \\ 40 & = & 75 \cdot {0,9}^{x} \\ \frac{40}{75} & = & {0,9}^{x} \\ \log_{0,9} \frac{40}{75} & = & x \\ x & \approx & 5,97 \end{array}$
Bei Rundung auf eine Nachkommastelle ergibt sich, dass die Wassertemperatur nach $6,0$ Minuten auf $60 ° C$ gefallen ist.
Im zweiten Versuch kühlt $72 ° C$ heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von $18 ° C$ für $3$ Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlvorgang in einem zweiten Raum für weitere $8$ Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von $39 ° C$ besitzt. Berechnen Sie die Umgebungstemperatur im zweiten Raum.
°C

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsaufgaben
Zunächst musst du die Temperatur nach 3 Minuten berechnen; setze dazu in die Gleichung ein:
$\begin{array}{rcl} y & = & (72 - 18) \cdot {0,9}^{3} + 18 \\ y & \approx & 57,4 °C \end{array}$
Daraufhin setzt du den veränderten Startwert in die Gleichung ein und löst nach der Umgebungstemperatur auf:
$\begin{array}{rcl} 39 & = & (57,4 - y_{U}) \cdot {0,9}^{8} + y_{U} \\ 39 - y_{U} & = & (57,4 - y_{U}) \cdot {0,9}^{8} \\ 39 - y_{U} & \approx & (57,4 - y_{U}) \cdot 0,430 \\ 39 - y_{U} & = & 24,71 - 0,430 y_{U} \\ 14,29 & = & 0,57 y_{U} \\ y_{U} & = & 25,07 \end{array}$
Die Umgebungstemperatur $y_{U}$ beträgt also $25,1 ° C$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org