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Nachtermin Teil A

Nebenstehende Skizze zeigt das rechtwinklige Dreieck $A B C$ mit der Hypotenuse $[A C]$ . $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A B]$ .

Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[A C]$ mit $A P_{n} = x cm (x \in ℝ; x \in] 0; 10,86 [)$ .

Es gilt: $A B = 9 cm; ∡ B A C = 34 °; ∡ B M P_{1} = 70 ° .$

Bild

Berechnen Sie die Längen der Strecken $[A C_{1}]$ und $[A P_{1}]$ .
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie (Kosinus), Sinussatz, Nebenwinkel, Innenwinkelsumme im Dreieck
Teilaufgabe a
Länge der Strecke $[A C]$ :
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig: daher können wir den Kosinus verwenden:
$\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (34 °) = \frac{9 cm}{A C}$
$A C = \frac{9 cm}{\cos (34 °)} \approx 10,86 cm$
Länge der Strecke $A P_{1}$ :
$∡ P_{1} M A = 180 ° - 70 ° = 110 °$ (Nebenwinkel).
$∡ M P_{1} A = 180 ° - 110 ° - 34 ° = 36 °$ (Innenwinkelsumme im Dreieck)
Sinussatz:
$\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)}$
$\frac{A M}{\sin (36 °)} = \frac{A P_{1}}{\sin (110 °)}$
$A P_{1} = \frac{A M \cdot \sin (110 °)}{\sin (36 °)}$
$A P_{1} = \frac{4,5 cm \cdot \sin (110 °)}{\sin (36 °)} \approx 7,19 cm$
Begründen Sie, weshalb für alle Punkte $P_{n}$ gilt: $∡ B M P_{n} + ∡ M P_{n} C = 214 °$ .

Teilaufgabe b
$∡ B M P_{n} + ∡ M P_{n} C = 214 ° :$
$∡ M P_{1} C = 180 ° - 36 ° = 144 °$ (Nebenwinkel)
$∡ B M P_{n} + ∡ M P_{n} C = 70 ° + 144 ° = 214 °$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org