Nachtermin Teil A

Für Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ mit den parallelen Seiten $[A D_{n}]$ und [ $B C_{n}$ ] gilt:

$A B = 3 c m$ ; $∡ C_{n} B A$ = 90°; ${B C}_{n} = 2 \cdot {A D}_{n}$ .

Die Winkel $A D_{n} C_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in$ ]90°; 180°[.

Die Zeichnung zeigt das Trapez $A B C_{1} D_{1}$ für $φ = 115 °$ .

Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken $[C_{n} D_{n}]$ und $[A D_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
$C_{n} D_{n} (φ) = \frac{3}{\cos (φ - 90 °)} c m$ und $A D_{n} (φ) = 3 \cdot \tan (φ - 90 °) c m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez, Kosinus und Tangens
Wir zeichnen die Strecken $D_{n} E$ senkrecht zu den Strecken $B C_{n}$ . Die Schnittpunkte sind $E_{n}$ . Die entstehenden Dreiecke $E_{n} D_{n} C_{n}$ sind rechtwinklig.
Die entstehenden Vierecke $A D_{n} E_{n} B$ sind Rechtecke und somit gilt $D_{n} E_{n} = A B = 3$ cm. Dazu gilt $E_{n} B = A D_{n}$ , weil die Seite $B C_{n}$ doppelt so lang ist, wie $A D_{n}$ .
Seiten $C_{n} D_{n} (φ)$
In den Dreiecken $E_{n} D_{n} C_{n}$ gilt:
$c o s (∢ E_{n} D_{n} C_{n}) = \frac{E_{n} D_{n} (φ)}{C_{n} D_{n} (φ)}$
Wir ersetzen $E_{n} D_{n} (φ)$ durch 3 und $∢ E_{n} D_{n} C_{n}$ durch $(φ - 90)$ :
$\cos (φ - 90)) = \frac{3}{C_{n} D_{n} (φ)}$ $\Rightarrow C_{n} D_{n} (φ) = \frac{3}{\cos (φ - 90)}$
Seiten $A D_{n} (φ)$
In den Dreiecken $E_{n} D_{n} C_{n}$ gilt auch:
$t a n (∢ E_{n} D_{n} C_{n}) = \frac{E_{n} C_{n} (φ)}{E_{n} D_{n} (φ)}$
Wir ersetzen $E_{n} C_{n} (φ)$ durch $A D_{n} (φ)$ , $E_{n} D_{n} (φ)$ durch 3, und $∢ E_{n} D_{n} C_{n}$ durch $(φ - 90)$ :
$t a n (φ - 90) = \frac{A D_{n} (φ)}{3}$ $\Rightarrow$ $A D_{n} (φ) = 3 \cdot t a n (φ - 90)$
Zeichne eine Skizze der Aufgabe oder nutze die Skizze in der Aufgabenstellung.
Zeichne die Strecke $D_{n} E$ senkrecht zu $B C_{n}$ (das Lot).
In diesem rechtwinkligen Dreieck lassen sich $C_{n} D_{n} (φ)$ und $A D_{n} (φ)$ berechnen.
Der Winkel in diesem rechtwinkligen Dreieck lässt sich ausdrücken durch $(φ - 90)$ .

Die Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ rotieren um die Gerade $B C_{n}$ . Berechnen Sie für den Oberflächeninhalt des entstehenden Rotationskörpers.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

	$Mantelflächen der Kegel + Mantelflächen der Zylinder + Grundfläche der Zylinder$
$=$	$r \cdot m_{Kegel} \cdot π + 2 \cdot r \cdot π \cdot h_{Zylinder} + r^{2} \cdot π$
	↓ Einsetzen von $m_{Kegel}$ und $h_{Zylinder}$
$=$	$= 3 \cdot \frac{3}{\cos (φ - 90)} \cdot π + 2 \cdot 3 \cdot π \cdot 3 \cdot \tan (φ - 90) + 3^{2} \cdot π$
$=$	$= 9 \cdot π \cdot {\frac{1}{\cos (φ - 90)} + 2 \cdot \tan (φ - 90) + 1} {cm}^{2}$

Nachtermin Teil A

Seiten CnDn(φ)

Seiten ADn(φ)

Seiten $C_{n} D_{n} (φ)$

Seiten $A D_{n} (φ)$