Nachtermin Teil A

Die Funktion $f_{1}$ hat die Gleichung $y = \log_{3} (x - 1,5) + 0,5$ mit $𝔾 = ℝ$ x $ℝ$ .

Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_{1}$

Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} v_{x} \\ 0 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet, wobei der Punkt $P (- 3 | 2,5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ liegt. Bestimmen Sie durch Rechnung $v_{x}$ und die Gleichung der Funktion $f_{2}$ .

In der zweiten Aufgabe sollen wir bestimmen, wie weit wir den Graphen von $f_{1}$ in $x$ -Richtung verschieben müssen, damit der Punkt $(- 3 | 2,5)$ auf ihm liegt.
Wir benutzen die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ \log_{3} (x - 1,5) + 0,5 \end{array}) + (\begin{array}{c} v_{x} \\ 0 \end{array})$
Da $P (- 3 | 2,5)$ auf dem Graphen von $f_{2}$ liegen soll, gilt:
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 2,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} x + v_{x} \\ \log_{3} (x - 1,5) + 0,5 \end{array})$
Man erhält zwei Gleichungen:
$- 3 = x + v_{x} \Rightarrow x = - 3 - v_{x} und 2,5 = \log_{3} (x - 1,5) + 0,5$
Setze in die zweite Gleichung $x = - 3 - v_{x}$ ein und löse nach $v_{x}$ auf:
$2,5$ $=$ $\log_{3} (x - 1,5) + 0,5$ $- 0,5$
$2$ $=$ $\log_{3} (x - 1,5)$
↓
Setze $x = - 3 - v_{x}$ ein
$2$ $=$ $\log_{3} (- 3 - v_{x} - 1,5)$ $3^{()}$
↓
Löse nach $v_{x}$ auf.
$3^{2}$ $=$ $- 4,5 - v_{x}$ $+ v_{x}$
$v_{x} + 9$ $=$ $- 4,5$ $- 9$
$v_{x}$ $=$ $- 13,5$
Damit haben wir $v_{x}$ bestimmt.
Für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ folgt dann:
Es ist $x^{'} = x + v_{x} = x - 13,5 \Rightarrow x = x^{'} + 13,5$ .
Andererseits ist $y^{'} = \log_{3} (x - 1,5) + 0,5$ .
Setze $x = x^{'} + 13,5$ ein:
$y^{'} = \log_{3} (x^{'} + 13,5 - 1,5) + 0,5 \Rightarrow y^{'} = \log_{3} (x^{'} + 12) + 0,5$
Die Funktionsgleichung von $f_{2}$ lautet schließlich:
$f_{2} (x) = \log_{3} (x + 12) + 0,5$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$x$	$=$	$\log_{3} (y - 1,5) + 0,5$	$- 0,5$
$x - 0,5$	$=$	$\log_{3} (y - 1,5)$	$3^{()}$
	↓	Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, potenzieren wir die Zahl $3$ auf beiden Seiten der Gleichung.
$3^{x - 0.5}$	$=$	$3^{\log (y - 1,5)}$
$3^{x - 0,5}$	$=$	$y - 1,5$

$2,5$	$=$	$\log_{3} (x - 1,5) + 0,5$	$- 0,5$
$2$	$=$	$\log_{3} (x - 1,5)$
	↓	Setze $x = - 3 - v_{x}$ ein
$2$	$=$	$\log_{3} (- 3 - v_{x} - 1,5)$	$3^{()}$
	↓	Löse nach $v_{x}$ auf.
$3^{2}$	$=$	$- 4,5 - v_{x}$	$+ v_{x}$
$v_{x} + 9$	$=$	$- 4,5$	$- 9$
$v_{x}$	$=$	$- 13,5$