Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Wolfgang hat 12 Socken in einer Schublade, 6 rote und 6 schwarze. Er nimmt nun zufällig 2 aus der Schublade.

Bestimme:

Die Anzahl aller Möglichkeiten, wenn man alle 12 Socken unterscheiden kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Die Anzahl der Möglichkeiten 2 Socken aus 12 zufällig zu ziehen entspricht genau dem Binomialkoeffizienten $(\binom{12}{2})$ .
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
$(\binom{12}{2})$ $=$ $\frac{12!}{2! \cdot (12 - 2)!}$
↓
Schreibe die Fakultäten aus.
$=$ $\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 9 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}$
↓
Kürze identische Zahlen.
$=$ $\frac{12 \cdot 11}{2}$
$=$ $66$
Die Anzahl der Möglichkeiten für 2 gleichfarbige Socken.
- $2 \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})$
- $(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})$
- $(\begin{array}{c} 12 \\ 2 \end{array})$
- $2 \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \end{array})$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Die Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 2 rote Socken und 2 schwarze Socken. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst zwei mal "2 aus 6".
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
$2 \cdot (\binom{6}{2})$ $=$ $2 \cdot \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!}$
↓
Schreibe die Fakultäten aus.
$=$ $2 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
↓
Kürze identische Zahlen.
$=$ $2 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2}$
$=$ $30$
Die Wahrscheinlichkeit für 2 gleiche Socken.
- $\frac{30}{66}$
- $\frac{1}{2}$
- $\frac{1}{4}$
- $\frac{36}{66}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 gleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen (b) geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
$\frac{30}{66} = 0, 45 \approx 45,5 %$
Die Wahrscheinlichkeit für 2 verschiedenfarbige Socken.
- $\frac{36}{66}$
- $\frac{5}{11}$
- $\frac{1}{4}$
- $\frac{2}{6}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 ungleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 ungleiche Socken zu ziehen geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 ungleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 1 rote Socke und 1 schwarze Socke. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst "1 aus 6" und danach nochmal "1 aus 6".
$(\binom{6}{1}) \cdot (\binom{6}{1}) = 6 \cdot 6 = 36$
Die Anzahl aller Möglichkeiten ist 66 (Teilaufgabe a). Dies bedeutet für die Wahrscheinlichkeit.
$\frac{36}{66} = 0, 54 \approx 54,5 %$

$(\binom{12}{2})$	$=$	$\frac{12!}{2! \cdot (12 - 2)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 9 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{12 \cdot 11}{2}$
	$=$	$66$

$2 \cdot (\binom{6}{2})$	$=$	$2 \cdot \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$2 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$2 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2}$
	$=$	$30$