Teil A

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Im Koordinatensystem ist für $x > - 2$ der Graph zu $f$ eingezeichnet.

Zeichnen Sie für $x \in [- 6; - 2,5]$ den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

geg.: $f : y = 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1$ ≙ nach Umformung des Exponenten $y = \frac{0,5}{(x + 2)^{3}} + 1$
ges.: Definitionsmenge und Wertemenge; Graph zu $f$
Ansatz und Rechnung:
Definitionsmenge: In den Funktionsterm können alle reellen Zahlen eingesetzt werden, nur darf der nenner nicht Null werden. Das würde für $x = 2$ geschehen. Daher ist $𝔻 = ℝ ∖ {𝟚}$
Wertebereich: der Bruch kann alle reellen Zahlen außer den Wert Null annehmen. Daher ist $𝕎 = ℝ ∖ {𝟙}$ .
Zeichnung mithilfe https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
Graph zu $f$ im KOSY
Bestimmung der Definitions- und Wertemenge sowie Zeichung des Graphen der Exponentialfunktion
Punkte $A_{n} (x | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf dem Graphen zu $f$ mit $x \in ℝ ∖ (- 2)$ .
Sie legen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ fest.
Die x-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 2 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ , die y-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 1 größer als die $y$ -Koordinate der Punkte $A_{n} .$ Zeichnen Sie die Quadrate $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 3$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für
$x = 2$ in das Koordinatensystem zu 2.0.
Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate:
Quadrat $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ :
$A_{n}$ (x| $0,5 \cdot {(x + 2)}^{- 3} + 1$ ) für $x = - 3$ :
$y (- 3) = 0,5 \cdot {(- 3 + 2)}^{- 3} + 1 = 0,5 \cdot {(- 1)}^{- 3} + 1 = 0,5 \cdot (- 1) + 1 = 0,5$
Die x-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um zwei größer: $x = - 3 + 2 = - 1$
Die y-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um eins größer: $y = 0,5 + 1 = 1,5$
So erhalten wir die Punkte $A_{1} (- 3 | 0,5)$ und $B_{1} (- 1 | 1,5)$ .
Wir können nun die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [ $A_{1} B_{1}$ ] durch die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ zeichnen (siehe Bild).
Anschließend nehmen wir die Strecke $[A_{1} B_{1}]$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: ( $k_{1} (A_{1}; {A_{1} B}_{1}$ ) und $k_{2} (B_{1}; {A_{1} B}_{1})$
Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte $C_{1}$ und $D_{1}$ .
Quadrat $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ : Wir gehen wie oben vor.
Begründen Sie, weshalb alle Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ den gleichen Flächeninhalt $A$ haben, und geben Sie diesen an.

Flächeninhalt A der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ : $A_{Quadrat} = a^{2} = {A_{n} B_{n}}^{2}$
Die Länge aller Seiten der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.
Die Seite [ $A_{1} B_{1}$ ] können wir über das Dreieck $A_{1} F B_{1}$ (siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Es ist $F (- 1 | 0,5)$ .
$\Rightarrow A_{1} F = - 1 - (- 3) = 2$
$\Rightarrow F B_{1} = 1,5 - 0,5 = 1$
${A_{1} B_{1}}^{2} = {A_{1} F}^{2} + {F B_{1}}^{2}$
${A_{1} B_{1}}^{2} = (2^{2} + 1^{2}) L E = (4 + 1) L E = 5 L E$
$A_{1} B_{1} = \sqrt{5} L E (\approx 2,24 L E)$
Entsprechend gilt: $A_{n} B_{n} = \sqrt{5} L E (\approx 2,24 L E)$
Nun können wir den Flächeninhalt berechnen:
Für alle Quadrate gilt:
$A_{Quadrat} = a^{2} = {A_{1} B_{1}}^{2} = {(\sqrt{5} L E)}^{2} = 5 F E$
Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$ .

geg.: $A_{n} (x | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1$
Nach Aufgabenstellung A 2.b ist bekannt: $x_{B_{n}} = x_{A_{n}} + 2$ und $y_{B_{n}} = y_{A_{n}} + 1.$
Viereck $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist ein Quadrat $\Rightarrow$ alle Seiten sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.
ges.: Nachweis, dass $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$
Ansatz und Rechnung:
Vektoraddition: $\vec{O C_{n}} = \vec{O A_{n}} + \vec{A_{n} B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$
Veranschaulichung siehe Skizze:
Quadrat $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$
Bestimmung der Vektoren:
1. $\vec{O A_{n}} : {A_{n} (x | 0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 1)$
$\Rightarrow \vec{O A_{n}} =$ Spitze minus Fuß $= (\begin{array}{c} x \\ {0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 1 \end{array})$
2. $\vec{A B_{n}} :$ mit $x_{B_{n}} = x_{A_{n}} + 2$ und $y_{B_{n}} = y_{A_{n}} + 1$ siehe Aufgabenstellung A 2.b
$\Rightarrow \vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$
3. $\vec{B_{n} C_{n}} :$ ist orthogonal zu $\vec{A_{n} B_{n}}$ und um $- 90 °$ (d.h. nach links) gedreht
$\Rightarrow$ gemäß Links-Kippregel wird Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ zu $\vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} - y \\ x \end{array})$
$\Rightarrow \vec{B_{n} C_{n}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$
mit $\vec{O C_{n}} = \vec{O A_{n}} + \vec{A_{n} B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$
$\Rightarrow \vec{O C_{n}} = (\begin{array}{c} x \\ {0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 1 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$ mit $x \in 𝐑 \neq [2]$
$\Rightarrow \vec{O C_{n}} = (\begin{array}{c} x + 1 \\ {0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 4 \end{array})$
$\Rightarrow 𝐂_{𝐧} (𝐱 + 𝟏 | 𝟎,𝟓 \cdot (𝐱 + 𝟐)^{- 𝟑} + 𝟒$ q.e.d.
Bestimmung der Einzelvektoren und der Vektorkette
Der Punkt $C_{3}$ des Quadrats $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der $y$ –Achse. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $C_{3}$ an.

Koordinaten des Punktes $C_{3}$ des Quadrates $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ für $x = 0$ :
Wir kennen die Koordinaten von $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$ .
Die x-Koordinate wird 0, wenn ich für $x = - 1$ einsetze $(- 1 + 1 = 0)$ :
$f (- 1)$ $=$ $0,5 \cdot (- 1 + 2)^{- 3} + 4$
$=$ $0,5 \cdot (1)^{- 3} + 4$ $- 4$
$=$ $0,5 \cdot 1 + 4$
$=$ $4,5$
$C_{3} (1 | 4,5)$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$f (- 1)$	$=$	$0,5 \cdot (- 1 + 2)^{- 3} + 4$
	$=$	$0,5 \cdot (1)^{- 3} + 4$	$- 4$
	$=$	$0,5 \cdot 1 + 4$
	$=$	$4,5$