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Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Beweise:

$(\binom{n}{0}) = 1 = (\binom{n}{n})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
$(\binom{n}{0})$ $=$ $\frac{n!}{0! \cdot (n - 0)!}$
↓
Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
$=$ $= \frac{n!}{1 \cdot n!}$
↓
Kürze den Bruch.
$=$ $1$
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
$(\binom{n}{n})$ $=$ $\frac{n!}{n! \cdot (n - n)!}$
↓
Fasse zusammen und kürze den Bruch.
$=$ $\frac{1}{1 \cdot 0!}$
↓
Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
$=$ $1$
$(\binom{n}{1}) = n = (\binom{n}{n - 1})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
$(\binom{n}{1})$ $=$ $\frac{n!}{1! \cdot (n - 1)!}$
↓
Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler.
$=$ $\frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)!}$
↓
Kürze den Bruch.
$=$ $n$
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
$(\binom{n}{n - 1})$ $=$ $\frac{n!}{(n - 1)! \cdot (n - (n - 1))!}$
↓
Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler und fasse die 2. Klammer im Nenner zusammen.
$=$ $\frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)! \cdot 1!}$
↓
Kürze den Bruch und vereinfache.
$=$ $n$

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