Teil 1, Stochastik

Folgendes Baumdiagramm stellt die Ergebnisse eines zweistufigen Zufallsexperiments dar. Dabei gilt: $p \in ℝ$ und $0 \leq p \leq 1$ .

Bestimmen Sie den Wert von p so, dass für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B gilt: $P (B) = 0,24$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
P(B) als Summe zweier Pfadwahrscheinlichkeiten
$P (B)$ ist ein zusammengesetztes Ereignis: Entweder Tritt A ein und dann auch B oder A tritt nicht ein und B trotzdem, also:
$P (B) = P (A \cap B) + P (A \cap B)$
Pfadwahrscheinlichkeit mit 1. Pfadregel
Um die Wahrscheinlichkeiten $P (A \cap B)$ beziehungsweise $P (A \cap B)$ zu berechnen, musst du die Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad multiplizieren:
$P (A \cap B) = 0,2 \cdot 0,4 = 0,08$
und
$P (A \cap B) = 0,8 \cdot p$
Gleichung lösen
Du weißt aus der Angabe, dass $P (B) = 0,24$ . Setze die Ergebnisse aus den vorherigen Schritten zusammen und du erhältst:
$P (B)$ $=$ $P (A \cap B) + P (A \cap B)$
↓
linke Seite aus Angabe, rechte Seite von oben
$0,24$ $=$ $0,08 + 0,8 p$ $- 0,08$
$0,16$ $=$ $0,8 p$ $: 0,8$
$0,2$ $=$ $p$
Da auf der ersten Stufe des Baumes Ereignis A betrachtet wird, ist P(B) aus zwei Ästen zusammengerechnet.
$P (B)$ ist die Summe aus den Wahrscheinlichkeiten $P (A \cap B)$ und $P (A \cap B)$ (2. Pfadregel)
p erhähltst du durch Umformen der entstandenen Gleichung.
Das zweistufige Zufallsexperiment ist ein Gewinnspiel, bei dem man nur gewinnt, wenn das Ereignis $A \cap B$ eintritt.
Interpretieren Sie folgende Gleichung im Sachzusammenhang:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
linke Seite der Gleichung
Der Term $0,8 \cdot (1 - p)$ beschreibt, wie in der Aufgabenstellung bereits vorgegeben, das Ereignis $A \cap B$ , also es darf weder A noch B eintreten.
Mit dem Exponenten $(. . .)^{3}$ wird ausgedrückt, dass das Ereignis dreimal hintereinander bei drei Versuchen eintreten soll.
rechte Seite der Gleichung und Interpretation
Durch die 0,001 ist die Wahrscheinlichkeit vorgegebn, dass man bei dreimaligem Spielen immer gewinnt.
Mithilfe der Gleichung kann der Wert von p also so bestimmt werden, dass man bei dreimaligem Spielen theoretisch in 0,1% der Fällen jedes Mal gewinnt.
Interpretieren bedeutet, dass eine Textantwort gefordert ist.
Überlege, welches Ereignis der Term auf der linken Seite beschreibt. Woher kommt die 0,8? Was ist (1-p)? Warum hoch 3?
Wenn du das Ereignis hast, ist die nächste Frage, was das Gleichsetzen mit 0,001 bedeutet. Irgendwas wird hier festgelegt?

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$P (B)$	$=$	$P (A \cap B) + P (A \cap B)$
	↓	linke Seite aus Angabe, rechte Seite von oben
$0,24$	$=$	$0,08 + 0,8 p$	$- 0,08$
$0,16$	$=$	$0,8 p$	$: 0,8$
$0,2$	$=$	$p$

Teil 1, Stochastik

P(B) als Summe zweier Pfadwahrscheinlichkeiten

Pfadwahrscheinlichkeit mit 1. Pfadregel

Gleichung lösen

linke Seite der Gleichung

rechte Seite der Gleichung und Interpretation