Mathe Funktionen Ableitung von Funktionen Tangente und Normale Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

Aufgaben zu Berührpunkten an Graphen

Gegeben sind die beiden Funktionen $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ und $g (x) = 4,25 x^{2} - 6 x + 1$ und der Punkt $B (2 | 6)$ . Zeige, dass $B$ ein Berührpunkt der beiden Graphen von $f$ und $g$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Gegeben ist der Punkt $B (2 | 6)$ .

Prüfe für diesen Punkt die Bedingung $(I)$ :

$f (x_{B})$	$=$	$g (x_{B})$
	↓	Setze die Funktionsterme ein.
$2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$	$=$	$4,25 x^{2} - 6 x + 1$
	↓	Setze $x_{B} = 2$ ein.
$2 \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2$	$=$	$4,25 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 + 1$
	↓	Vereinfache.
$2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 6$	$=$	$4,25 \cdot 4 - 12 + 1$
	↓	Fasse zusammen.
$6$	$=$	$17 - 11$
$6$	$=$	$6 ✓$

Bedingung $(I)$ ist erfüllt.

Berechne die Ableitungen und prüfe für den Punkt $B$ die Bedingung $(I I)$ :

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 8 x + 3$ und $g^{'} (x) = 8,5 x - 6$

$f^{'} (x_{B})$	$=$	$g^{'} (x_{B})$
	↓	Setze die Ableitungen ein.
$6 x^{2} - 8 x + 3$	$=$	$8,5 x - 6$
	↓	Setze $x_{B} = 2$ ein.
$6 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 3$	$=$	$8,5 \cdot 2 - 6$
	↓	Vereinfache.
$24 - 16 + 3$	$=$	$17 - 6$
	↓	Fasse zusammen.
$11$	$=$	$11 ✓$

Bedingung $(I I)$ ist auch erfüllt.

Beide Bedingungen für einen Berührpunkt sind erfüllt. Der gegebene Punkt $B (2 | 6)$ ist somit ein Berührpunkt.

Die folgende graphische Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Wende die Bedingungen für einen Berührpunkt $B$ an.

$(I) f (x_{B}) = g (x_{B}) (I I) f^{'} (x_{B}) = g^{'} (x_{B})$

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