Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Im Dezember 2021 wurden in Norwegen rund 14 000 Pkw neu zugelassen. In einer vereinfachten Übersicht sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten an diesen Neuzulassungen dargestellt.

Für eine Untersuchung werden aus diesen Neuzulassungen 200 Fahrzeuge zufällig ausgewählt und deren Besitzer nach den Gründen für die Wahl der Antriebsart befragt. Da aus einer großen Anzahl von Fahrzeugen nur verhältnismäßig wenige ausgewählt werden, wird das Urnenmodell "Ziehen mit Zurücklegen" ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
D: "Unter den ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor".
E: "Unter den ausgewählten Pkw befinden sich mehr als 135 mit rein elektrischem Antrieb". (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ereignis D: Verbrenner mit Dieselmotor
Der Tabelle entnimmt man, dass $4 %$ der PKWs einen Dieselmotor haben.
$\Rightarrow$ $p_{Diesel} = 0,04$
Unter den $n = 200$ ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor.
$D : P (X = 7) + P (X = 8)$ $=$ $B (200; 0,04; 7) + B (200; 0,04; 8)$
$=$ $(\binom{200}{7}) \cdot {0,04}^{7} \cdot {0,96}^{193} + (\binom{200}{8}) \cdot {0,04}^{8} \cdot {0,96}^{192}$
$=$ $0,1417 + 0,1425$
$=$ $0,2842$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $n = 200$ ausgewählten PKWs sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor befinden, beträgt $28,42 %$ .
Ereignis E: rein elektrischer Antrieb
Der Tabelle entnimmt man, dass $65 %$ der PKWs einen rein elektrischen Antrieb haben. $\Rightarrow$ $p_{rein elektrischer Antrieb} = 0,65$
Unter den $n = 200$ ausgewählten Pkw befinden sich mehr als $135$ mit rein elektrischem Antrieb.
$E : P (X > 135)$ $=$ $1 - P (X \leq 135)$
$=$ $1 - F (200; 0,65; 135)$
↓
Der Taschenrechner liefert mit der Funktion binomCdf(n, p, k) den Wert $0,79183$ oder der Wert wird aus dem Tafelwerk abgelesen.
$=$ $1 - 0,79183$
$=$ $0,20817$
Hinweis: Tafelwerk $n = 200$ , $k = 135$ und $\sum_{i = 0}^{k} B (n; p; i)$ liefert der Wert $0,79183$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $n = 200$ ausgewählten PKWs mehr als $135$ mit rein elektrischem Antrieb befinden, beträgt rund $20,82 %$ .
Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term
$\sum_{k = 0}^{25} (\begin{array}{c} 200 \\ k \end{array}) \cdot {0,1}^{k} \cdot (1 - 0,1)^{200 - k}$
berechnet werden kann. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Gegeben ist: $\sum_{k = 0}^{25} (\begin{array}{c} 200 \\ k \end{array}) \cdot {0,1}^{k} \cdot (1 - 0,1)^{200 - k}$
Aus der Summe kann die Wahrscheinlichkeit $p = 0,1$ abgelesen werden. Betrachtet man die gegebene Tabelle, findet man zunächst kein Ereignis, dass die Wahrscheinlichkeit $p = 0,1$ bzw. $p = 10 %$ hat.
Für die PKW ohne Elektromotor gilt, dass sich die $3$ gegebenen Wahrscheinlichkeiten zu $10 %$ summieren ( $3 % + 4 % + 3 % = 10 %$ ).
Also ist bei der gegebenen Summe von PKW ohne Elektromotor (Verbrenner) die Rede. Die Summe läuft von $k = 0$ bis $k = 25 \Rightarrow P (X \leq 25)$
Unter $200$ PKW werden höchstens $25$ PKW ohne Elektromotor (Verbrenner) ausgewählt.
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Pkw mit Elektromotor unter den ausgewählten Fahrzeugen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Erwartungswert
Für die Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E (X) = n \cdot p .$
$p_{Elektromotor} = 0,65 + 0,25 = 0,90$
$E (X) = 200 \cdot 0,9 = 180$
Der Erwartungswert beträgt $180$ .
Standardabweichung
Für die Binomialverteilung ist die Standardabweichung $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} .$
$σ = \sqrt{200 \cdot 0,9 \cdot 0,1} = \sqrt{18} \approx 4,24$
Die Standardabweichung beträgt rund $4,24$ .
Für einen bestimmten Wert $n \in$ { $1; 2; 3; . . .$ } werden für $p \in] 0; 1 [$ die binomialverteilten Zufallsgrößen $Z_{p}$ mit den Parametern $n$ und $p$ betrachtet. Weisen Sie nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit $p = 0,5$ die größte Varianz hat. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Varianz
Für die Binomialverteilung ist die Varianz $V (X) = σ^{2} = n \cdot p \cdot (1 - p) .$
Berechnung der größten Varianz in Abhängigkeit von $p$ .
Berechne $V^{'} (p)$ und setze $V^{'} (p) = 0$ .
$\begin{array}{l} V (p) = n \cdot (p - p^{2}) \\ V^{'} (p) = n \cdot (1 - 2 p) \end{array}$
Setze $V^{'} (p) = 0$ .
$0$ $=$ $n \cdot (1 - 2 p)$ $: n$
↓
Wegen $n \neq 0$ kann durch $n$ geteilt werden.
$0$ $=$ $1 - 2 p$ $+ 2 p$
↓
Löse nach $p$ auf.
$2 p$ $=$ $1$ $: 2$
$p$ $=$ $\frac{1}{2}$
Überprüfung, ob es sich um ein Maximum handelt, erfolgt hier mit der zweiten Ableitung.
$V^{'} (p) = n \cdot (1 - 2 p)$
$V^{''} (p)$ $=$ $n \cdot (- 2)$
$=$ $- 2 n$
Da $n > 0$ ist, ist $- 2 n < 0$
Es handelt sich also um ein Maximum.
Unter den Zufallsgrößen hat diejenige mit $p = 0,5$ die größte Varianz.
Aus den neu zugelassenen Pkw mit Elektromotor werden $40$ Fahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybriden befinden. (3 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P_{EM} (Hybrid)$ :
$P_{EM} (Hybrid) = \frac{0,25}{0,65 + 0,25} = \frac{5}{18}$
Von den neu zugelassenen Pkw mit Elektromotor werden $n = 40$ Fahrzeuge zufällig ausgewählt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybriden befinden.
$P (X = 10) = B (40; \frac{5}{18}, 10)$
$P (X = 10)$ $=$ $(\binom{40}{10}) \cdot {(\frac{5}{18})}^{10} \cdot {(\frac{13}{18})}^{30}$
$=$ $0,13345$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybriden befinden, beträgt rund $13,3 %$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$D : P (X = 7) + P (X = 8)$	$=$	$B (200; 0,04; 7) + B (200; 0,04; 8)$
	$=$	$(\binom{200}{7}) \cdot {0,04}^{7} \cdot {0,96}^{193} + (\binom{200}{8}) \cdot {0,04}^{8} \cdot {0,96}^{192}$
	$=$	$0,1417 + 0,1425$
	$=$	$0,2842$

$E : P (X > 135)$	$=$	$1 - P (X \leq 135)$
	$=$	$1 - F (200; 0,65; 135)$
	↓	Der Taschenrechner liefert mit der Funktion binomCdf(n, p, k) den Wert $0,79183$ oder der Wert wird aus dem Tafelwerk abgelesen.
	$=$	$1 - 0,79183$
	$=$	$0,20817$

$0$	$=$	$n \cdot (1 - 2 p)$	$: n$
	↓	Wegen $n \neq 0$ kann durch $n$ geteilt werden.
$0$	$=$	$1 - 2 p$	$+ 2 p$
	↓	Löse nach $p$ auf.
$2 p$	$=$	$1$	$: 2$
$p$	$=$	$\frac{1}{2}$

$P (X = 10)$	$=$	$(\binom{40}{10}) \cdot {(\frac{5}{18})}^{10} \cdot {(\frac{13}{18})}^{30}$
	$=$	$0,13345$

$V^{''} (p)$	$=$	$n \cdot (- 2)$
	$=$	$- 2 n$

Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Ereignis D: Verbrenner mit Dieselmotor

Ereignis E: rein elektrischer Antrieb

Erwartungswert

Standardabweichung