Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben sind die Punkte $A (3 | 5 | 5)$ und $B (1 | 1 | 1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$ , die sich in $B$ schneiden. Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ , die Gerade $h$ den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) .$

Weisen Sie nach, dass $A$ auf $g$ liegt. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Gerade
A liegt auf g?
Erstelle die Gleichung der Geraden $g$ :
Wähle als Aufpunkt den Punkt $B (1 | 1 | 1)$ und den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ .
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{A}$ ein.
$(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
$\begin{array}{l} (I) 2 = r \\ (I I) 4 = 2 r \Rightarrow r = 2 \\ (I I I) 4 = 2 r \Rightarrow r = 2 \end{array}$
Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = 2$ und der Punkt $A$ liegt auf $g$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte $C$ und $D$ so, dass $C$ auf $h$ liegt und das Viereck $A B C D$ eine Raute ist. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Bei einer Raute sind die Seiten gleichlang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander.
Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ :
Wähle als Aufpunkt den Punkt $B (1 | 1 | 1)$ und den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ .
$h : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Berechne die Länge der Seite $| B A |$ :
$\vec{B A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array})$
$| \vec{B A} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36} = 6 LE$
Da es sich um eine Raute handelt, muss auch die Seite $| B C | 6 LE$ lang sein.
Der Punkt $C$ liegt auf der Geraden $h \Rightarrow \vec{C} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist ein Einheitsvektor, d.h. er muss genau sechsmal (wegen der Länge $6 LE$ ) zum Vektor $\vec{B}$ addiert werden, um zum Vektor $\vec{C}$ zu gelangen.
$\Rightarrow \vec{C} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $C (7 | 1 | 1)$ .
Einen weiteren Punkt $C^{'}$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\vec{B}$ subtrahiert wird.
$\Rightarrow {\vec{C}}^{'} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Der Punkt $C^{'}$ hat die Koordinaten $C (- 5 | 1 | 1)$ .
Entsprechend erhält man auch die Koordinaten des Punktes $D$ .
Hier gilt:
$\vec{D} = \vec{A} + 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 5 \\ 5 \end{array})$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D (9 | 5 | 5)$ .
Einen weiteren Punkt $D^{'}$ findet man, wenn der Einheitsvektor sechsmal vom Vektor $\vec{A}$ subtrahiert wird.
$\Rightarrow {\vec{D}}^{'} = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 5 \end{array}) - 6 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \\ 5 \end{array})$
Der Punkt $D^{'}$ hat die Koordinaten $D^{'} (- 3 | 5 | 5)$ .
Die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ bilden eine Raute.
Die Punkte $A$ , $B$ , $C^{'}$ und $D^{'}$ bilden ebenfalls eine Raute.
Die folgende Abbildung wurde nicht in der Aufgabenstellung verlangt.
Sie dient nur der Veranschaulichung.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

A liegt auf g?