Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ mit $λ \in ℝ .$

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
$g \in E ?$
Setze die Geradengleichung $g$ in die Ebenengleichung ein:
$x_{1} + x_{2} + x_{3}$ $=$ $2$
↓
Setze $(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ ein.
$(0 + λ) + (1 + 0) + (1 - λ)$ $=$ $2$
↓
Löse die Klammern auf.
$λ + 1 + 1 - λ$ $=$ $2$
↓
Fasse zusammen.
$2$ $=$ $2$
Du hast eine wahre Aussage erhalten.
Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2$ .
Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_{a} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
mit $μ \in ℝ$ und $a \in ℝ .$ Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Zwei Geraden sind dann windschief zueinander, wenn sie nicht parallel zueinander sind und keinen Schnittpunkt haben.
Sind die Richtungsvektoren parallel zueinander?
Prüfe, ob der Richtungsvektor der Geraden $g$ ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden $h_{a}$ ist.
$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
Die dritte Zeile lautet: $- 1 = k \cdot 0$
Diese Gleichung ist für kein $k$ erfüllbar, d.h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel zueinander.
Schneiden sich die beiden Geraden?
$g \cap h_{a}$
$(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$ $- (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
$λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
Somit erhält man das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{cccccccl} (I) : λ & = & 0 & + & μ \\ (I I) : 0 & = & - 1 & + & μ \cdot a \\ (I I I) : - λ & = & 0 & + & 0 \end{array}$
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt: $λ = 0$
Setze $λ = 0$ in Gleichung $(I)$ ein, so folgt dann: $μ = 0$
Wird $μ = 0$ in Gleichung $(I I)$ eingesetzt, führt das auf einen Widerspruch $0 = - 1$
(falsche Aussage).
Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.
Die beiden Geraden schneiden sich nicht, d.h. für jeden Wert von $a$ sind die Geraden windschief.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$x_{1} + x_{2} + x_{3}$	$=$	$2$
	↓	Setze $(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ ein.
$(0 + λ) + (1 + 0) + (1 - λ)$	$=$	$2$
	↓	Löse die Klammern auf.
$λ + 1 + 1 - λ$	$=$	$2$
	↓	Fasse zusammen.
$2$	$=$	$2$

$(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$	$- (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
$λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$

Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Sind die Richtungsvektoren parallel zueinander?

Schneiden sich die beiden Geraden?