Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Das Werfen einer beliebigen Zahl hat die Wahrscheinlichkeit $p={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Zahl nicht eintritt, ist $p=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}.$

Gegeben ist der Term ${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^5$.

Hoch $5$ bedeutet, dass das Ereignis fünfmal hintereinander eintritt (Pfadmultiplikationsregel).

Der Term ${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^5$ steht dann für die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. die Zahl $1$ fünfmal hintereinander nicht geworfen wird, bzw. dass eine beliebige Zahl fünfmal hintereinander nicht geworfen wird.

Lösungsweg 1

Wenn bei 5 Würfen jede Zahl mindestens einmal vorkommen soll, heißt das, eine Zahl tritt doppelt auf.

Beispiel: $12341$

Für die Reihenfolge dieser $5$ Zahlen gibt es insgesamt ${\displaystyle \frac{5!}{2!}}=60$ verschiedene Möglichkeiten.

Im obigen Beispiel trat die $1$ doppelt auf. Die $2$ kann ebenfalls doppelt auftreten, ebenso die $3$ und die $4$.

Somit gibt es $4\cdot 60=240$ günstige Ereignisse und $4^5$ mögliche Ereignisse.

$\Rightarrow p={\displaystyle \frac{240}{4^5}}={\displaystyle \frac{15}{64}}$

Der Term ${\displaystyle \frac{240}{4^5}}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

Lösungsweg 2

Der Term $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{4}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

Hinweis: Wird der Term ausgerechnet, erhält man wie beim ersten Lösungsweg ${\displaystyle \frac{15}{64}}.$