Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gleichung der Tangente

Gegeben ist $g(x)=\sqrt{x}+1.$

Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt $(1|g(1))$.

Berechne $g(1)$:

$g(1)=\sqrt{1}+1=2\Rightarrow P(1|2)$

Weiterhin wird die Steigung des Graphens im Punkt $P$ benötigt.

Berechne die erste Ableitung:

Schreibe die Wurzel als Potenz:

$g(x)=\sqrt{x}+1=x^{\frac{1}{2}}+1$

Wende die Ableitungsregeln für Potenzen an.

Die erste Ableitung von $g(x)$ ist $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}$.

Der Graph von $g$ hat im Punkt $P(1|2)$ die Steigung $g^{\prime }(1)$.

Berechne $g^{\prime }(1)$:

$g^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Nun kann in die Formel für die Tangente im Punkt $P(1|2)$ eingesetzt werden:

Dabei ist $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$ und $g(1)=2.$

Die Gleichung der Tangente im Punkt $(1|2)$ lautet:

Graphische Darstellung (ist nicht gefragt)

Umkehrfunktion

Die Funktionsgleichung $y=\sqrt{x}+1$ wird nach $x$ aufgelöst:

Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion $g^{-1}$ zu erhalten, müssen nun noch $x$ und $y$ vertauscht werden.