Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Abbildung 2 zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $g$ , dessen einzige Extrempunkte $(- 1 | 1)$ und $(0 | 0)$ sind, sowie den Punkt $P$ .

Graph einer Funktion und Punkt P — Abb. 2

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen, der in
$ℝ$ definierten Funktion $h$ mit $h (x) = - g (x - 3)$ an. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)
$h (x) = - g (x - 3)$
Die Funktion $h (x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g (x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $- g (x)$ um $3$ nach rechts verschoben.
Der Graph der Funktion $g (x)$ hat einen Hochpunkt $H P (- 1 | 1)$ und einen Tiefpunkt $T P (0 | 0)$ . Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g (x)$ hat dann den Tiefpunkt $T P (- 1 | - 1)$ . Damit die Funktion $h (x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $3$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h (x)$ entsteht. $\Rightarrow T P (- 1 + 3 | - 1)$
Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $T P (2 | - 1)$
Der Graph einer Stammfunktion von $g$ verläuft durch $P$ . Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Besondere Punkte des Graphen von $g (x)$
Die Stammfunktion von $g (x)$ ist die Funktion $G (x)$ . Es gilt: $G^{'} (x) = g (x)$
Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g (x)$ folgen diese Informationen:
Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $g$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $G$ .
Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $g$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $G$ .
Konkret heißt das:
Der Graph von $G$ hat bei $x = - 1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $G$ beträgt $1$ , da $g$ an der Stelle $x = - 1$ den Funktionswert $1$ hat. Der Funktionswert $1$ ist dann der Wert von $G^{'} (- 1)$ .
Der Graph von $G$ hat bei $x = 0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $g$ bei $x = 0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $0$ .
Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$ ?
Der Punkt $P (1 | 3)$ liegt auf dem Graphen von $G (x)$ . Dieser kann eingezeichnet werden und hilft, weitere Punkte zu berechnen.
Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $g$ besteht aus $4$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $0,25 FE .$
Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x = 0$ und $x = 1$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $0,5$ Kästchen groß:
$\Rightarrow 0,5 \cdot 0,25 = 0,125 FE$
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x = 0$ und $x = 1$ um $0,125 FE .$
Im gegebenen Punkt $P$ der Abb. 2 gilt: $G (1) = 3 \Rightarrow G (0) = 3 - 0,125 = 2,875$
Ein zweiter Punkt der Graphens von $G$ hat dann die Koordinaten $P_{1} (0 | 2,875) .$
Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x = - 1$ und $x = 0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $1,75$ Kästchen groß:
$\Rightarrow 1,75 \cdot 0,25 \approx 0,44 FE$
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x = - 1$ und $x = 0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse um etwa $0,44 FE .$
Im Punkt $P 1$ ist $G (0) = 2,875 \Rightarrow G (- 1) = 2,875 - 0,44 \approx 2,44$
Ein dritter Punkt der Graphens von $G$ hat die Koordinaten $P_{2} (0 | 2,44)$ .
Zusatz
Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $G$ , sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $G$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)
Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P 1$ gleich $0$ und im Punkt $P 2$ gleich $1$ ist.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

Besondere Punkte des Graphen von g(x)

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion G?

Zusatz

Besondere Punkte des Graphen von $g (x)$

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$ ?