Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion f: $x \mapsto l n (x - 3)$ mit maximaler Definitionsmenge $D$ und Ableitungsfunktion $f^{'}$ .

Geben Sie $D$ sowie die Nullstelle von $f$ an. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Definitionsmenge
Was im Logarithmus steht, muss immer größer als $0$ sein.
$\ln (\underset{Das muss größer als 0 sein}{\underset{⏟}{x - 3}})$
$\Rightarrow x - 3 > 0$ bzw. $x > 3$
Die Definitionsmenge ist somit:
$D = {x \in ℝ | x > 3}$
Nullstelle
Die ln-Funktion hat eine Nullstelle für $x = 1$ :
Setze $x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4$
Die Funktion $f$ hat für $x = 4$ eine Nullstelle.
Alternative
Die $\ln$ -Funktion wurde durch den Term " $x - 3$ " um drei nach rechts verschoben. Die Nullstelle, die der Graph an der Stelle $x = 1$ normalerweise hätte, befindet sich jetzt bei $x = 4$ .
Das Argument $(x - 3)$ der $\ln$ -Funktion muss größer 0 sein.
Also muss gelten:
$x - 3 > 0$
Somit muss $x > 3$ sein.
Zur Nullstelle: Die $\ln$ -Funktion hat den Wert 0, wenn das Argument $x - 3 = 1$ ist.
Also $f (x) = 0$ , genau dann, wenn $x - 3 = 1$ . Damit ist die Nullstelle (nach Umstellen) $x = 4$ .
Ermitteln Sie diejenige Stelle $x \in D$ für die $f^{'} (x) = 2$ gilt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Berechne die erste Ableitung der Funktion $f$ . Beachte die Kettenregel.
$f^{'} (x) = \frac{1}{x - 3} \cdot 1$
Es soll $f^{'} (x) = 2$ sein:
Setze $f^{'} (x) = 2$ .
↓
$2$ $=$ $\frac{1}{x - 3}$ $\cdot (x - 3)$
↓
Löse nach $x$ auf.
$2 \cdot (x - 3)$ $=$ $1$
↓
Löse die Klammer auf.
$2 x - 6$ $=$ $1$ $+ 6$
$2 x$ $=$ $7$ $: 2$
$x$ $=$ $3,5$
$x = 3,5$ ist in $D$ enthalten.
Für $x = 3,5$ hat die erste Ableitung von $f$ den Wert $2$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Setze $f^{'} (x) = 2$ .
	↓
$2$	$=$	$\frac{1}{x - 3}$	$\cdot (x - 3)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 \cdot (x - 3)$	$=$	$1$
	↓	Löse die Klammer auf.
$2 x - 6$	$=$	$1$	$+ 6$
$2 x$	$=$	$7$	$: 2$
$x$	$=$	$3,5$

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Definitionsmenge

Nullstelle