Nachtermin Teil A

Aufgabe A3

An zwei Türmen sind auf einer Höhe von jeweils $15 m$ über dem Boden Plattformen angebracht. Zwischen den beiden $30 m$ voneinander entfernten Plattformen ist eine Brücke gespannt. Der Verlauf der Brücke zwischen den Punkten $A (0 | 15)$ und $B (30 | 15)$ kann näherungsweise durch eine Parabel $p$ beschrieben werden. Diese hat eine Gleichung der Form

$y = a x^{2} + b x + c$ , $(𝔾 = ℝ_{0}^{+} \times ℝ_{0}^{+}$ ; $a, b, c \in ℝ; a \neq 0)$

und den Scheitelpunkt $S (15 | 12,75)$ . Dabei entspricht $x m$ der horizontal gemessenen Entfernung vom Punkt $A$ und $y m$ der Höhe über dem Boden.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:
$y = 0,01 x^{2} - 0,3 x + 15$ , $(𝔾 = ℝ_{0}^{+} \times ℝ_{0}^{+})$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Setze nacheinander die Koordinaten der drei gegebenen Punkte in die Parabelgleichung ein.
$A$ :
$y$ $=$ $a x^{2} + b x + c$
↓
Setze $A (0 | 15)$ ein.
$15$ $=$ $a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c$
$15$ $=$ $c$
Die Parabelgleichung lautet nun: $y = a x^{2} + b x + 15$
$B$ :
$y$ $=$ $a x^{2} + b x + 15$
↓
Setze $B (30 | 15)$ ein.
$15$ $=$ $a \cdot 30^{2} + b \cdot 30 + 15$ $- 15$
$0$ $=$ $900 a + 30 b$
$S$ :
$y$ $=$ $a x^{2} + b x + 15$
↓
Setze $S (15 | 12,75)$ ein.
$12,75$ $=$ $a \cdot 15^{2} + b \cdot 15 + 15$ $- 15$
$- 2,25$ $=$ $225 a + 15 b$
Du hast nun zwei Gleichungen erhalten:
$\begin{array}{rccccccc} I & 900 a & + & 30 b & = & 0 \\ II & 225 a & + & 15 b & = & - 2,25 \end{array}$
Löse das Gleichungssystem z.B. mit dem Additionsverfahren.
$\begin{array}{l} \begin{array}{rccccccc} I & 900 a & + & 30 b & = & 0 \\ (- 4) \cdot II & 225 a & + & 15 b & = & - 2,25 \end{array} \\ 0 - 30 b = 9 \end{array}$
Löse die erhaltene Gleichung nach $b$ auf:
$- 30 b$ $=$ $9$ $: (- 30)$
$b$ $=$ $- 0,3$
Setze $b = - 0,3$ z.B. in Gleichung $I$ ein:
$900 a + 30 b$ $=$ $0$
↓
Setze $b = - 0,3$ ein.
$900 a + 30 \cdot (- 0,3)$ $=$ $0$
$900 a - 9$ $=$ $0$ $+ 9$
$900 a$ $=$ $9$ $: 900$
$a$ $=$ $0,01$
Damit lautet die Gleichung der Parabel $p : y = 0,01 x^{2} - 0,3 x + 15$
Eine Person überquert die Brücke von $A$ nach $B$ . Sie geht bereits wieder aufwärts. Bei einer Höhe von $13$ Metern über dem Boden bleibt sie stehen. Diese Position entspricht dem Punkt $D$ auf der Parabel $p$ .
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $D .$ (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabelgleichung
$y$ $=$ $0,01 x^{2} - 0,3 x + 15$
↓
Setze für $y$ den Wert $13$ ein.
$13$ $=$ $0,01 x^{2} - 0,3 x + 15$ $- 13$
$0$ $=$ $0,01 x^{2} - 0,3 x + 2$ $\cdot 100$
$0$ $=$ $x^{2} - 30 x + 200$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:
Lies $p$ und $q$ ab.
$p = - 30$ und $q = 200$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 30$ und $q = 200$ ein.
$=$ $= - \frac{(- 30)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 30}{2})}^{2} - 200}$
$=$ $15 \pm \sqrt{225 - 200}$
$=$ $15 \pm \sqrt{25}$
$=$ $15 \pm 5$
Damit folgt $x_{1} = 10$ und $x_{2} = 20$ .
Da die Person bereits wieder aufwärts geht, muss $x > 15$ sein (x-Koordinate des Scheitelpunktes).
Die x-Koordinate des Punktes $D$ lautet also $x = 20$ .
Da $y$ die Höhe über dem Boden in Metern angibt, setze in der Parabelgleichung für $y$ den Wert $13$ ein.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$y$	$=$	$a x^{2} + b x + c$
	↓	Setze $A (0 \| 15)$ ein.
$15$	$=$	$a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c$
$15$	$=$	$c$

$y$	$=$	$a x^{2} + b x + 15$
	↓	Setze $B (30 \| 15)$ ein.
$15$	$=$	$a \cdot 30^{2} + b \cdot 30 + 15$	$- 15$
$0$	$=$	$900 a + 30 b$

$y$	$=$	$a x^{2} + b x + 15$
	↓	Setze $S (15 \| 12,75)$ ein.
$12,75$	$=$	$a \cdot 15^{2} + b \cdot 15 + 15$	$- 15$
$- 2,25$	$=$	$225 a + 15 b$

$900 a + 30 b$	$=$	$0$
	↓	Setze $b = - 0,3$ ein.
$900 a + 30 \cdot (- 0,3)$	$=$	$0$
$900 a - 9$	$=$	$0$	$+ 9$
$900 a$	$=$	$9$	$: 900$
$a$	$=$	$0,01$

$y$	$=$	$0,01 x^{2} - 0,3 x + 15$
	↓	Setze für $y$ den Wert $13$ ein.
$13$	$=$	$0,01 x^{2} - 0,3 x + 15$	$- 13$
$0$	$=$	$0,01 x^{2} - 0,3 x + 2$	$\cdot 100$
$0$	$=$	$x^{2} - 30 x + 200$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 30$ und $q = 200$ ein.
	$=$	$= - \frac{(- 30)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 30}{2})}^{2} - 200}$
	$=$	$15 \pm \sqrt{225 - 200}$
	$=$	$15 \pm \sqrt{25}$
	$=$	$15 \pm 5$