Nachtermin Teil A

Aufgabe A3

Die Punkte $A (1 | - 2)$ und $C (- 1,5 | 3)$ legen für $φ \in] 0 °; 180 ° [$ zusammen mit

Pfeilen $\vec{A B_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 4 \sin φ + 3 \\ \frac{2}{\sin φ} \end{array})$ Dreiecke $A B_{n} C$ fest.

Im Koordinatensystem ist das Dreieck $A B_{1} C$ für $φ = 30 °$ eingezeichnet.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Die Punkte $B_{n}$ werden durch Punktspiegelung an $O (0 | 0)$ auf Punkte $D_{n}$ abgebildet. Dadurch entstehen Vierecke $A B_{n} C D_{n}$ .
Ergänzen Sie im Koordinatensystem zu A3.0 das Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ .
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
$D_{n} (- 4 \sin φ - 4 | 2 - \frac{2}{\sin φ}) .$ (3 P)

geg.: Punkte $A (1 | - 2)$ , $C (- 1,5 | 3)$ , Pfeile $\vec{A B_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin φ + 3 \\ \frac{2}{\sin φ} \end{array})$
ges.: Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ ergänzen; Punkte $D_{n} (φ)$ berechnen
Ansatz und Rechnung:
1. Zeichnung im Koordinatensystem ergänzen:
Abbildung $B_{n}$ durch Punktspiegelung an $O (0 | 0)$ auf $D_{n}$ .
Ergänze das Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ .
Länge $O B_{1} =$ Länge $O D_{1}$
Ergänzung Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$
2. Rechnerischer Nachweis für $D_{n}$ : Punkte $D_{n} (φ)$ berechnen
$\vec{O B_{n}} (φ) = \vec{O A} \oplus︎ \vec{A B_{n}}$
$\vec{O B_{n}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin φ + 3 \\ \frac{2}{\sin φ} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin φ + 4 \\ - 2 + \frac{2}{\sin φ} \end{array}) φ \in] 0^{\circ}; 180^{\circ} [$
$\vec{O D_{n}} (φ)$ ist dann punktgespiegelt an $O$ , also $- \vec{𝐎 𝐁_{𝐧}} (𝛗)$
$\vec{O D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} - (4 \cdot \sin φ + 4) \\ - (- 2 + \frac{2}{\sin φ}) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \cdot \sin φ - 4) \\ 2 - \frac{2}{\sin φ}) \end{array})$
$\Rightarrow 𝐃_{𝐧} (- 𝟒 \cdot \sin 𝛗 - 𝟒 | 𝟐 - \frac{𝟐}{\sin 𝛗})$
Check:
$\vec{O B_{1}} = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin (30 °) + 4 \\ - 2 + \frac{2}{\sin (30 °)} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot 0,5 + 4 \\ - 2 + \frac{2}{0,5} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot 0,5 + 4 \\ - 2 + \frac{2}{0,5} \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})$
$\vec{O D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} - 4 \cdot \sin (30 °) - 4) \\ 2 - \frac{2}{\sin (30 °}) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \cdot 0,5 - 4) \\ 2 - \frac{2}{0,5}) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 2 \end{array})$
siehe Zeichnung!
Dreieck $A B_{1} C$ an $O$ spiegeln, Koordinaten der Punkte $D_{n} (φ)$ berechnen
Begründen Sie, weshalb es unter den Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ kein Parallelogramm gibt. (2 P)

Im Parallelogramm $A B_{n} C D_{n}$ ist der Punkt $O (0 | 0)$ Mittelpunkt von $[B_{n} D_{n}]$ .
Damit das auch der Mittelpunkt von $[A C]$ ist müssen $C$ und $A$ symmetrisch zum Ursprung liegen, also muss $C$ die Koordinaten $(- 1 | 2)$ haben. Hier ist aber $C (- 1,5 | 3)$ . Daher ist unter den Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ kein Parallelogramm!
Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org