Nachtermin Teil A

Aufgabe A1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6;$ $(𝔾 = ℝ x ℝ)$

Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 9$ schneidet den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $P$ . Ermitteln Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $P$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
geg.: Funktionsgleichung $f : y = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6 𝔾 = ℝ \times ℝ$
Gerade $g : y = - 9$
ges.: $x -$ Koordinate des Schnittpunktes $P$
Ansatz und Rechnung:
Gleichsetzen der Funktion $g$ mit Funktion $f$ , Auflösen nach $x$
$- 9 = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6$ | $+ 6$
$- 3 = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x)$ | $: (- 1,5)$
$2 = \log_{2} (1 - x)$ | Logarithmus in Potenz umwandeln $𝐱 = \log_{𝐚} (𝐲) \leftrightarrow 𝐲 = 𝐚^{𝐱}$
$\Rightarrow$ $𝟏 - 𝐱 = 𝟐^{𝟐}$ $1 - x = 4 1 - 4 = x 𝐱 = - 𝟑$
$𝐏 (- 𝟑 | - 𝟗)$ , die $x$ -Koordinate ist also $- 3$ .
Gleichsetzungsverfahren von Geradengleichung mit Logarithmusgleichung anwenden
Der Graph der Funktion $f_{0}$ mit der Gleichung $y = a \cdot \log_{2} (b - x) - c$ mit
$(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ und $a, b, c \in ℝ$ wird durch Achsenspiegelung an der x–Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f$ abgebildet. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion $f_{0}$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung von Funktionsgraphen
geg.: Die mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ verschobene und an der x-Achse gespiegelte Funktion
$f :$ $y = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6$ gemäß Aufgabe A 1.a
ges.: Ausgangsfunktion $f_{0} : y = a \cdot \log_{2} (b - x) - c$
Ansatz und Rechnung:
1. Rück-Verschiebung von $f$ durch Addition mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ : $y^{''} \Rightarrow y^{'}$
$(\begin{array}{c} x^{''} \\ - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x^{''}) - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 𝟐 \\ - 𝟑 \end{array})$ $𝔾 = ℝ \times ℝ; x^{''} \in ℝ; x^{''} < - 1$
$x^{''} = x^{'} + 2$ einsetzen in $y^{'}$ :
$y^{'} = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - (x^{'} + 2)) - 6 + 3$ | zusammenfassen
$𝐲^{'} = - 𝟏,𝟓 \cdot \log_{𝟐} (- 𝟏 - 𝐱^{'}) - 𝟑$ $\begin{array}{l} 𝔾 = ℝ \times ℝ \end{array}$
2. Rückspiegelung an $x -$ Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1:
$y^{'} \Rightarrow y$ $≙ f_{0}$
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} x^{'} \\ - 1,5 \cdot \log_{2} (- 1 - x^{'}) - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 𝐲 \end{array}) 𝔾 = ℝ \times ℝ; x^{'} \in ℝ; x^{'} < - 1 \end{array}$ $x^{'} = x$ einsetzen in $y$ :
$- y = - 1,5 \cdot \log_{2} (- 1 - x) - 3$ | $\cdot (- 1)$
$\Rightarrow 𝐲 = 𝟏,𝟓 \cdot \log_{𝟐} (- 𝟏 - 𝐱) + 𝟑 ≙ 𝐟_{𝟎}$
Die Funktion $f_{0}$ hat also die Gleichung $𝐲 = 𝟏,𝟓 \cdot \log_{𝟐} (- 𝟏 - 𝐱) + 𝟑$
Berechnung der Ausgangsfunktion $f_{0}$ durch Rück-Verschiebung und Rück–Spiegelung der Funktion $f$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org