Teil 2, Analysis I

Der zeitliche Verlauf der Temperatur eines in einer großen Tasse eingeschenkten Frühstückstees wird in einem Schülerexperiment untersucht. Als Grundlage wird näherungsweise die Modellfunktion T mit der Funktionsgleichung $T (t) = a \cdot e^{b t} + 22$ mit $t \in ℝ_{0}^{+}$ und $a, b \in ℝ \ {0}$ verwendet. Dabei steht die Variable t für die Beobachtungszeit t in Minuten ab dem Beginn des Experiments, welches mit dem Eingießen des Tees in die Tasse zum Zeitpunkt $t_{0} = 0$ startet. Der jeweilige Funktionswert von T gibt die Temperatur des Tees in $° C$ zum Zeitpunkt t an. Der Tee in der Tasse hat zu Beginn des Experminents um 8:55 Uhr eine Temperatur von $80 ° C$ . Um 9:15 Uhr beträgt die Temperatur nur noch $30 ° C$ .

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b. Runden Sie gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle. Erläutern Sie, welche Bedeutung der Wert 22 im Funktionsterm der Funktion T für die Funktionswerte der Modellfunktion hat und bringen Sie diesen Wert in Zusammenhang mit dem durchgeführten Experiment. (5 BE)
Gleichungssystem aufstellen und lösen
Die Starttemperatur von $80 ° C$ ist zum Zeitpunkt $t = 0$ :
I) $80 = a \cdot e^{0 \cdot b} + 22$
Da $e^{0} = 1$ erhältst du direkt
$80$ $=$ $a \cdot 1 + 22$ $- 22$
$58$ $=$ $a$
Setze den gefundenen Wert für a direkt in die nächste Gleichung ein.
Um 9:15, also nach 20 Minunten, hat der Tee noch eine Temperatur von $30 ° C$ :
II) $30 = 58 \cdot e^{20 b} + 22$
Löse diese Gleichung nach b auf:
$30$ $=$ $58 e^{20 b} + 22$ $- 22$
$8$ $=$ $58 e^{20 b}$ $: 58$
$\frac{8}{58}$ $=$ $e^{20 b}$
↓
Verwende den ln
$\ln (\frac{8}{58})$ $=$ $20 b$ $: 20$
$- 0,1$ $\approx$ $b$
Bedeutung der Zahl 22
$y = 22$ ist die Gleichung der waagerechten Asymptote der Exponentialfunktion
$22 ° C$ ist die Raumtemperatur, die der Tee niemals unterschreitet.
Aus den beiden Angaben zur Temperatur um 8:55 und 9:15 kannst du die Koordinaten von zwei Punkten ermitteln, die auf dem Graphen liegen.
Setze beide Punkte in die Funktionsgleichung für t und T(t) ein.
Löse das entstandene Gleichungssystem.
Vergiss nicht, anschließend noch die Bedeutung der Zahl 22 für den Funktionsgraphen und in der Sachsituation anzugeben. Überlege dir dafür, was für große Werte von t mit der Temperatur passiert.
Für die folgende Teilaufgabe gilt $a = 58$ ; $b = - 0,1$
Als angenehm wird eine Trinktemperatur von $54 ° C$ empfunden. Berechnen Sie, um welche Uhrzeit diese Temperatur erreicht wird. Runden Sie die Zeitangabe auf ganze Minuten. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$54$ $=$ $58 e^{- 0,1 t} + 22$ $- 22$
$32$ $=$ $58 e^{- 0,1 t}$ $: 58$
$\frac{32}{58}$ $=$ $e^{- 0,1 t}$
↓
Verwende den natürlichen Logarithmus ln.
$\ln (\frac{32}{58})$ $=$ $- 0,1 t$ $: (- 0,1)$
$t$ $\approx$ $6$
Da der Tee um 8:55 eingeschenkt wurde, ist die angenehme Trinktemperatur nach sechs Minuten Wartezeit um 9:01 Uhr erreicht.
Setze den Funktionsterm mit 54 gleich und löse die entstandene Exponentialgleichung. Anschließend musst du die Minutenangabe noch zur Startuhrzeit addieren.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$30$	$=$	$58 e^{20 b} + 22$	$- 22$
$8$	$=$	$58 e^{20 b}$	$: 58$
$\frac{8}{58}$	$=$	$e^{20 b}$
	↓	Verwende den ln
$\ln (\frac{8}{58})$	$=$	$20 b$	$: 20$
$- 0,1$	$\approx$	$b$

$54$	$=$	$58 e^{- 0,1 t} + 22$	$- 22$
$32$	$=$	$58 e^{- 0,1 t}$	$: 58$
$\frac{32}{58}$	$=$	$e^{- 0,1 t}$
	↓	Verwende den natürlichen Logarithmus ln.
$\ln (\frac{32}{58})$	$=$	$- 0,1 t$	$: (- 0,1)$
$t$	$\approx$	$6$

Teil 2, Analysis I

Gleichungssystem aufstellen und lösen

Bedeutung der Zahl 22