Mathe Funktionen Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Berechne die Steigung der Funktion $f (x) = - 2 x^{3} - x$ an der Stelle

$x_{0} = - 1$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

Steigung $m$ der Tangente

$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_{0} = - 1$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (- 1 + h) - f (- 1)}{h}$
	↓	Setzte $f$ in die Formel ein. Achte auf die Vorzeichen!
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[- 2 (- 1 + h)^{3} - (- 1 + h)] - [- 2 (- 1)^{3} - (- 1)]}{h}$
	↓	Löse möglichst viele Klammern auf
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[- 2 (- 1 + h)^{3} + 1 - h)] - [2 + 1]}{h}$
	↓	Nutze den binomischen Lehrsatz oder berechne $(- 1 + h)^{3} = (- 1 + h)^{2} \cdot (- 1 + h) = (1^{2} - 2 h + h^{2}) \cdot (- 1 + h) = - 1 + 2 h - h^{2} + h - 2 h^{2} + h^{3} = - 1 + 3 h - 3 h^{2} + h^{3}$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{- 2 [- 1 + 3 h - 3 h^{2} + h^{3}] + 1 - h - 3}{h}$
	↓	Vereinfache
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[2 - 6 h + 6 h^{2} - 2 h^{3}] - h - 2}{h}$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{- 7 h + 6 h^{2} - 2 h^{3}}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{h (- 7 + 6 h - 2 h^{2})}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} (- 7 + 6 h - 2 h^{2})$
	↓	Jetzt kann man das Limit ziehen.
$m$	$=$	$- 7$

Die Steigung $m = - 7$ entspricht der berechneten Steigung an der Stelle $x = - 1$ von $f$ .

Bestimmung der Tangentengleichung

Man bestimmt $t (x)$ indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt berührte Punkt $A (x | f (x)) = A (- 1 | 3)$ auf der Tangente liegen muss.

$f (x)$	$=$	$m \cdot x + b$
	↓	Setzt man den Berührungspunkt ein
$f (- 1)$	$=$	$m \cdot (- 1) + b$
$3$	$=$	$b - m$
	↓	Setzt man $m = - 7$
$3$	$=$	$b - (- 7)$	$- 7$
$- 4$	$=$	$b$

Die Gleichung der Tangente ist somit $t (x) = - 7 \cdot x - 4$

Wir wenden die Formel für die h-Methode an und erhalten so die Steigung $m$ der Tangente.

Mit der Steigung der Tangente $m$ und dem Punkt $A (- 1 | f (- 1))$ der sowohl auf der Funktion aus auch der Tangente liegt, stellt man die Gleichung der Tangente auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Steigung m der Tangente

Bestimmung der Tangentengleichung

Steigung $m$ der Tangente