Teil A

Bestimme die gesuchten Größen mit dem Sinussatz

Berechnung von$\sphericalangle \text{𝐃𝐁𝐀}$ :

${\displaystyle \frac{\overline{\text{AD}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{DBA}}}={\displaystyle \frac{\overline{\text{AB}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{ADB}}}\Rightarrow \text{sin}\sphericalangle \text{DBA}={\displaystyle \frac{\overline{\text{AD}}\cdot \text{sin}\sphericalangle \text{ADB}}{\overline{\text{AB}}}}$

$\text{sin}\sphericalangle \text{DBA}={\displaystyle \frac{3\cdot \text{sin}{80}^{\circ }}{\text{8}}}=\mathrm{0,3693}\Rightarrow {\text{sin}}^{-1}(\mathrm{0,3693})={\mathrm{21,67}}^{\circ }$

$\underline{{\text{Das Maß des Winkels DBA beträgt: 21,67}}^{\circ }}$

Berechnung von$\overline{\text{𝐁𝐃}}$:

${\displaystyle \frac{\overline{\text{BD}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{BAD}}}={\displaystyle \frac{\overline{\text{AB}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{ADB}}}\sphericalangle \text{BAD}={180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{\mathrm{21,67}}^{\circ }={\mathrm{78,33}}^{\circ }$

$\sphericalangle \text{BAD}={\mathrm{78,33}}^{\circ }$

$\overline{\text{BD}}={\displaystyle \frac{\overline{\text{AB}}\cdot \text{sin}\sphericalangle \text{BAD}}{\text{sin}\sphericalangle \text{ADB}}}\Rightarrow \overline{\text{BD}}={\displaystyle \frac{8\cdot \text{sin}{\mathrm{78,33}}^{\circ }}{\text{sin}{80}^{\circ }}}$

$\overline{\text{BD}}=\mathrm{7,96}\text{cm}$

$\underline{\text{Die Länge der Strecke [BD] beträgt: 7,96\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}cm}}$

Zerlegung in zwei Dreiecke

Das Viereck$\text{ABCD}$ lässt sich in beiden Dreiecke$\text{ABD}$und$\text{DBC}$zerlegen.

Flächeninhalt Dreieck $ABD$

Berechne den Flächeninhalt mithilfe des Sinussatzes.

${\text{A}}_{\text{ABD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{\text{AB}}\cdot \overline{\text{BD}}\cdot \sin (\sphericalangle \text{ABD})$

${\text{A}}_{\text{ABD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot \mathrm{7,96}\cdot \sin ({\mathrm{21,67}}^{\circ }){\text{cm}}^2$

Flächeninhalt Dreieck $DBC$

Berechne den Flächeninhalt mithilfe des Sinussatzes.

${\text{A}}_{\text{BCD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{\text{BD}}\cdot \overline{\text{BC}}\cdot \sin (\sphericalangle \text{DBC})\sphericalangle \text{DBC}={110}^{\circ }-{\mathrm{21,67}}^{\circ }={\mathrm{88,33}}^{\circ }$

${\text{A}}_{\text{BCD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{7,96}\cdot 8\cdot \sin ({\mathrm{88,33}}^{\circ }){\text{cm}}^2$

Flächeninhalt des Vierecks

$A_{\text{ABCD}}=({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot \mathrm{7,96}\cdot \sin ({\mathrm{21,67}}^{\circ })+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{7,96}\cdot 8\cdot \sin ({\mathrm{88,33}}^{\circ })){\text{cm}}^2$

$A_{\text{ABCD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot \mathrm{7,96}\cdot (\sin ({\mathrm{21,67}}^{\circ })+\sin ({\mathrm{88,33}}^{\circ })){\text{cm}}^2$

$\underline{A_{\text{ABCD}}\approx \mathrm{43,58}{\text{cm}}^2}$

Der Flächeninhalt des Vierecks $\text{ABCD}$beträgt:$\mathrm{43,58}{\text{cm}}^2$

Der Winkel$\text{CME}$ist ein Stufenwinkel zum Winkel$\text{CBA}$an den Parallelen$\text{AB}$und$\text{EM}$.

Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.

Somit gilt: ⁣$\sphericalangle \text{CBA}=\sphericalangle \text{CME}={110}^{\circ }\Rightarrow \sphericalangle \text{EMB}={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$.

$\underline{\text{Berechnung der Bogenlänge des Kreisbogens}\stackrel{⌢}{\text{EB}}\text{mit dem Mittelpunkt M.}}$

$\stackrel{⌢}{\text{EB}}=\overline{\text{BC}}\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{\sphericalangle \text{EMB}}{{360}^{\circ }}}\text{cm}\Rightarrow \stackrel{⌢}{\text{EB}}=8\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{{70}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\text{cm}$

$\underline{\stackrel{⌢}{\text{EB}}=\mathrm{4,89}\text{cm}}$

Die Bogenlänge des Kreisbogens$\stackrel{⌢}{\text{EB}}$beträgt:$\mathrm{4,89}\text{cm}.$

Die Figur bildet einen Kreissektor.

$\begin{array}{l}\underline{\text{Berechnung des Flächeninhaltes des Kreissektors der durch den Kreisbogen}\stackrel{⌢}{\text{EB}}}\\ \underline{\text{und den Strecken [EM] und [BM] begrenzt wird.}}\end{array}$

$A_{\text{Sektor}}={\left({\displaystyle \frac{\overline{\text{BC}}}{2}}\right)}^2\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{\sphericalangle \text{EMB}}{360}}{\text{cm}}^2\Rightarrow A_{\text{Sektor}}=16\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{{70}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}{\text{cm}}^2$

$\underline{A_{\text{Sektor}}=\mathrm{9,77}{\text{cm}}^2}$

Der Flächeninhalt der Figur, die durch den Kreisbogen$\stackrel{⌢}{\text{EB}}$und den Strecken$[\text{EM}]$

und$[\text{BM}]$begrenzt wird beträgt:$\mathrm{9,77}{\text{cm}}^2$

$\begin{array}{l}\underline{\text{Bestimmung des prozentualen Anteils dieses Flächeninhalts}}\\ \underline{\text{ am Flächeninhalt des Vierecks ABCD.}}\end{array}$

$\text{p}={\displaystyle \frac{\text{W}}{\text{G}}}\text{W}=\mathrm{9,77}{\text{cm}}^2;\text{G}=\mathrm{43,58}{\text{cm}}^2$

$\text{p}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,77}{\text{cm}}^2}{\mathrm{43,58}{\text{cm}}^2}}\Rightarrow \underline{\text{p}=\mathrm{0,2242}}$

Der prozentuale Anteil dieses Flächeninhalts am Flächeninhalt des Vierecks$ABCD$

ist dann: $\mathrm{0,2242}\cdot 100\%=\mathrm{22,42}\%$