Teil A

Aufgabe A 1

Die Vorlage eines Kerzenhalters für kugelförmige Kerzen ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse $M N$ . Die Skizze zeigt den Axialschnitt dieses Rotationskörpers. Der Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Geraden $A B$ und $E D$ .

Es gilt: $A E = 9 cm$ ; $G F = 5 cm$ ; $B D = 5 cm$ ; ⁣ $C N = 5,5 cm$ ; $r = M G = M F$ ; $A E ‖ B D .$

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (4 P)
$[$ Zwischenergebnis: $C M = 9,9 cm$ ; Ergebnis: $V = 141,21 {cm}^{3}$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Volumen des großen Kegels
$V_{Kegel(gr)} = \frac{1}{3} \cdot {AM}^{2} \cdot π \cdot CM$
Bestimmung von $AM$
$AM = \frac{AE}{2} = 4,5 cm$
Berechnung von $CM$ mithilfe des 2. Strahlensatzes
$\frac{AE}{CM} = \frac{BD}{CN} \Rightarrow CM = \frac{AE \cdot CN}{BD}$
$CM = \frac{9 cm \cdot 5,5 cm}{5 cm} = 9,9 cm$
Einsetzen von $AM$ und $CM$
$V_{Kegel(gr)}$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot {AM}^{2} \cdot π \cdot CM$
$=$ $\frac{1}{3} \cdot (4,5)^{2} \cdot π \cdot 9,9$
$=$ $209,94$
Volumen des kleinen Kegels
$V_{Kegel(kl)} = \frac{1}{3} \cdot {BN}^{2} \cdot π \cdot CN$
Bestimmung von $BN$
$BN = \frac{BD}{2} = 2,5 cm$
Einsetzen von $BN$ und $CN$
$V_{Kegel(kl)}$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot {BN}^{2} \cdot π \cdot CN$
$=$ $\frac{1}{3} \cdot (2,5)^{2} \cdot π \cdot 5,5$
$=$ $36,00$
Volumen der Halbkugel
$V_{Halbkugel} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot {MF}^{3} \cdot π$
Bestimmung von $MF$
$MF = \frac{GF}{2} = 2,5 cm$
Einsetzen von $MF$
$V_{Halbkugel}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot {MF}^{3} \cdot π$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot {2,5}^{3} \cdot π$
$=$ $32,72$
Volumen des Kerzenhalters
$V_{Kerzenh.} = V_{Kegel(gr)} - V_{Kegel(kl)} - V_{Halbkugel}$
$V_{Kerzenh.} = 141,22$
Das Volumen des Kerzenhalters beträgt: $141,22 {cm}^{3}$
Achtung: Je nachdem, ob du in den Zwischenschritten rundest oder nicht, kannst du leicht abweichende Werte erhalten.
Berechne das Volumen folgender Teilkörper:
großer Kegel ( $A E C$ )
kleiner Kegel ( $B D C$ )
Halbkugel
Ziehe das Volumen des kleinen Kegels ( $B D C$ ) und das Volumen der Halbkugel vom Volumen des großen Kegels ( $A E C$ ) ab.
Der Kerzenhalter soll aus Marmor gefertigt werden. $1 {cm}^{3}$ des verwendeten Marmors hat eine Masse von $2,7 g$ .
Berechnen Sie die Masse des Kerzenhalters. Runden Sie auf ganze Gramm. (1 P)
g
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dichte
Berechne die Masse, indem du 2,7 g mit dem Volumen des Kerzenhalters in ${cm}^{3}$ multiplizierst.
$m = 2,7 \cdot 141,22$
$m = 381$
Die Masse des Kerzenhalters beträgt: $381 g .$
Multipliziere 2,7 g mit dem Volumen des Kerzenhalters in ${cm}^{3}$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$V_{Kegel(gr)}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {AM}^{2} \cdot π \cdot CM$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (4,5)^{2} \cdot π \cdot 9,9$
	$=$	$209,94$

$V_{Kegel(kl)}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {BN}^{2} \cdot π \cdot CN$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (2,5)^{2} \cdot π \cdot 5,5$
	$=$	$36,00$

$V_{Halbkugel}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot {MF}^{3} \cdot π$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot {2,5}^{3} \cdot π$
	$=$	$32,72$

Teil A

Aufgabe A 1

Volumen des großen Kegels

Volumen des kleinen Kegels

Volumen der Halbkugel

Volumen des Kerzenhalters